知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4
2
+6．

难度：中等

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2．已知a≥0，b≥0，求证：a⁶+b⁶≥ab（a⁴+b⁴）．

难度：中等

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3．（Ⅰ）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．　证明：|
1
3
a+
1
6
b|＜
1
4
；
（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+
c2
2
≤
1
2
；
（Ⅱ）求证：
a2+c2
b
+
b2+a2
c
+
c2+b2
a
≥2．

难度：中等

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5．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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6．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：
z-1
z+1
为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
．

难度：中等

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7．（1）解关于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）证明：（x+y）（
1
x
+
1
y
）≥4（其中x＞0，y＞0）．

难度：中等

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8．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则
a+b
2
＞
ab
．

难度：中等

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9．若x＞0，y＞0，
x
+
y
≤m
x+y
则实数m的最小值为．

难度：中等

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10．（1）若不等式|2x-1|+|x+2|≥m²+
1
2
m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设a，b，c大于0，且1≤
1
a
+
1
2b
+
1
3c
≤
2
5
（|2x-1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．

难度：中等

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