知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}(n∈N^{*})$，$g(n)=2( \sqrt {n+1}-1)(n∈N^{*})$．
$(1)$当$n=1$，$2$，$3$时，分别比较$f(n)$与$g(n)$的大小$($直接给出结论$)$；
$(2)$由$(1)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并证明你的结论．

难度：中等

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2．
若$x_{i} > 0(i=1,2,3,…,n)$，观察下列不等式：$(x_{1}+x_{2})( \dfrac {1}{x_{1}}+ \dfrac {1}{x_{2}})\geqslant 4$，$(x_{1}+x_{2}+x_{3})( \dfrac {1}{x_{1}}+ \dfrac {1}{x_{2}}+\; \dfrac {1}{x_{3}})\geqslant 9$，$…$，

请你猜测$(x_{1}+x_{2}+…+x_{n})( \dfrac {1}{x_{1}}+ \dfrac {1}{x_{2}}+…+ \dfrac {1}{x_{n}})$满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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3．
已知函数$f(x)=ax+ \dfrac {b}{x}+c(a > 0)$，$g(x)=\ln x$，其中函数$f(x)$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=x-1$．
$($Ⅰ$)$若$a=1$，求函数$f(x)$的解析式；
$($Ⅱ$)$若$f(x)\geqslant g(x)$在$[1,+∞)$上恒成立，求实数$a$的取值范围；
$($Ⅲ$)$证明：$1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{n} > \ln (n+1)+ \dfrac {n}{2(n+1)}(n\geqslant 1)$．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，通项公式为 $\text{[math]}$ ．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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5．由下列式子　 $1%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%EF%BC%9E1$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B7%7D%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B15%7D%EF%BC%9E2$
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

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6．已知$f(n)=1+ \dfrac {1}{2^{3}}+ \dfrac {1}{3^{3}}+ \dfrac {1}{4^{3}}+…+ \dfrac {1}{n^{3}}$，$g(n)= \dfrac {3}{2}- \dfrac {1}{2n^{2}}$，$n∈N^{*}$．
$(1)$当$n=1$，$2$，$3$时，试比较$f(n)$与$g(n)$的大小关系；
$(2)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜
1
2
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＞
3
4
-
2n+1
2n(n+1)
．

难度：中等

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8．已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

难度：中等

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9．试比较3ⁿ与（n+1）²（n∈N^*）的大小，并证明．

难度：中等

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10．设n∈N^*，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，试比较f（n）与
n+1
的大小．

难度：中等

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