知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
mx2+2
n-3x
的定义域上的奇函数，且f（2）=-
5
3
，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明
（Ⅲ）若g（2a）＞g（a-1）+2，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．
（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；
（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．

难度：较难

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3．已知f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0]时，函数解析式f（x）=
1
4x
-
a
2x
（a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lg
2x
ax+b
，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（
1
x
）=lgx．
（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=|2x|，现将y=f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h（x）的图象．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx²的图象在x∈[
1
2
，3]上至少有一个交点，求实数k的取值范围．

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6．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=
n-g(x)
m+2g(x)
是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

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7．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=
3x
9x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

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8．已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（
1
2
，2），
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+
1
2
）-1，求：函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数F（x）=g（2x）-mg（x-1），求F（x）在[-1，0]的最小值h（m）．

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9．函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由．

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10．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

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