知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．给出定义：若 $m-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%9Cx%E2%89%A4m%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为 $%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5D$ ；
②函数y=f（x）的图象关于直线 $x%3D%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7B2%7D$ （k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在 $%5B-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5D$ 上是增函数．
其中正确的命题的序号是（　　）

A．①

B．②③

C．①②③

D．①④

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2．下列函数在区间（0，+∞）上为减函数的是（　　）

A．y=-|x-1|

B．y=x²-2x+4

C．y=ln（x+2）

D．y=（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）^x

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3．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%CF%80$ ）上为减函数的是（　　）

A．y=sin2x

B．y=2|cosx|

C．y=cos $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$

D．y=tan（-x）

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4．已知f（log_ax）=x-
k-1
x
（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．
（1）求k的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（1）=
3
2
时，不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m的取值范围．

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5．（B类题）已知函数f（x）=
-x2+2x(x＞0)
1(x=0)
-x-1(x＜0)
．
（Ⅰ）求f{f（f（-1））}的值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．

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6．已知a为实数，函数f（x）=x²-|x²-ax-2|在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为．

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7．已知t为常数且0＜t＜1，函数g（x）=
1
2
（x+
1-t
x
）（x＞0），h（x）=
x2-2x+2+t
．
（1）求证：g（x）在（0，
1-t
）上单调递减，在（
1-t
，+∞）上单调递增；
（2）若函数g（x）与h（x）的最小值恰为函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的两个零点，求a+b的取值范围．

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8．设函数f(x)=|
1
x
-1|（x＞0）．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要求推理过程）；
（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[
m
3
，
n
3
]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

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