知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知函数$f(x)$满足：$①$对任意$x_{1}$，$x_{2}∈(0,+∞)$且$x_{1}\neq x_{2}$，都有$ \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} > 0$；$②$对定义域内任意$x$，都有$f(x)=f(-x)$，则符合上述条件的函数是$($　　$)$

A．$f(x)=x^{2}+|x|+1$

B．$f(x)= \dfrac {1}{x}-x$

C．$f(x)=\ln |x+1|$

D．$f(x)=\cos x$

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2．
已知函数$g(x)= \dfrac {1}{x\sin \theta }+\ln x$在$[1,+∞)$上为增函数，且$θ∈(0,π)$，$f(x)=mx- \dfrac {m-1}{x}-\ln x(m∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$θ$的值；
$($Ⅱ$)$若$f(x)-g(x)$在$[1,+∞)$上为单调函数，求$m$的取值范围；
$($Ⅲ$)$设$h(x)= \dfrac {2e}{x}$，若在$[1,e]$上至少存在一个$x_{0}$，使得$f(x_{0})-g(x_{0}) > h(x_{0})$成立，求$m$的取值范围．

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3．已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）上是减函数，求实数a的取值范围．

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4．

以下函数在$R$上为减函数的是$($　　$)$

A．$y=\log \;_{ \frac {1}{2}}x$

B．$y=x^{-1}$

C．$y=( \dfrac {1}{2})^{x}$

D．$y=x^{2}$

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5．

下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是$($　　$)$

A．$f(x)=-x|x|$

B．$f(x)=x\sin x$

C．$f(x)= \dfrac {1}{x}$

D．$f(x)=x^{ \frac {1}{2}}$

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6．
设函数$f(x)=2\ln x+ \dfrac {1}{x}$．
$($Ⅰ$)$讨论函数$f(x)$的单调性；
$($Ⅱ$)$如果对所有的$x\geqslant 1$，都有$f(x)\leqslant ax$，求$a$的取值范围．

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7．

如果定义在$R$上的函数$f(x)$满足：对于任意$x_{1}\neq x_{2}$，都有$x_{l}f(x_{l})+x_{2}f(x_{2})\geqslant x_{l}f(x_{2})+x_{2}f(x_{l})$，则称$f(x)$为“$H$函数”，给出下列函数：
$①y=-x^{3}+x+l$；
$②y=3x-2(\sin x-\cos x)$；
$③y=l-e^{x}$；
$④f(x)= \begin{cases} \ln x(x\geqslant 1) \\ 0(x < 1)\end{cases}$；
$⑤y= \dfrac {x}{x^{2}+1}$
其中“$H$函数”的个数有$($　　$)$

A．$3$个

B．$2$个

C．$l$个

D．$0$个

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8．

已知函数$f(x)=ax+b-\ln x($其中$a$，$b∈R)$表示的曲线在点$(2,f(2))$处的切线方程$x-2y-2\ln 2=0$．

$(1)$求$a$，$b$的值；

$(2)$若$f(x)\geqslant kx-2$对于$x\in (0+\infty )$恒成立，求实数$k$的取值范围；

$(3)$求证：当$n\in {{N}^{*}}$时，$n(n+1)\leqslant 2 \dfrac{{e}^{x}-1}{e-1} $．

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9．已知函数f（x）=
1
4
a（x-2）⁴+（x-2）²+a（x-2）（a≠0），函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求函数g（x）．
（2）a≥2时，求证：函数g（x）在区间（
a
a+1
，1）不单调．

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10．定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）=（2-x），在区间[1，2]上是单调递减函数．关于函数f（x）有下列结论：
①图象关于直线x=1对称；②最小正周期是2；
③在区间[-2，-1]上是减函数；④在区间[-4，4]上的零点最多有5个．
其中正确的结论序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

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