知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数$f(x)=a^{x-1}(a > 0,a\neq 1)$的图象经过点$(3, \dfrac {1}{9}).$
$(1)$求$a$的值；
$(2)$求函数$f(x)=a^{2x}-a^{x-2}+8$，当$x∈[-2,1]$时的值域．

难度：较难

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2．求函数y= $3%5E%7B-x%5E%7B2%7D%2B2x%2B3%7D$ 的定义域、值域和单调区间．

难度：较难

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3．

设函数$f\left(x\right)=k{a}^{x}-{a}^{-x} $， $(a > 0$且$a\neq 1)$是定义域为$R$的奇函数．

$($Ⅰ$)$ 求$k $的值

$($Ⅱ$)$若$f\left(1\right) > 0 $，试求不等式$f\left({x}^{2}+2x\right)+f\left(x-4\right) > 0 $的解集；

$($Ⅲ$)$若$f\left(1\right)= \dfrac{3}{2} $，且$g\left(x\right)={a}^{2x}+{a}^{-2x}-4f\left(x\right) $，求$g\left(x\right) $在$\left(1,+∞\right) $上的最小值。

难度：较难

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4．
已知命题$p:\dfrac{{{x}^{2}}}{m+3}+\dfrac{{{y}^{2}}}{7m-3}=1$表示焦点在$x$轴上的双曲线；命题$q:f(x)={{(5-2m)}^{x}}$是增函数，若$p\vee q$为真，$p\wedge q$为假，求实数$m$的取值范围．

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5．已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．
（1）求函数h（x）的反函数；
（2）已知φ（x）=g（x-1），若函数φ（x）在[-1，3]上满足φ（2a+1＞φ（-
a
2
），求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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6．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

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7．已知定义域为R的函数是奇函数。
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立，求实数k的取值范围。

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8．
已知函数 $y$$=($$)$ ${\,\!}^{x}$$-($$)$ ${\,\!}^{x}$$+1$的定义域为$[-3,2]$，
$(1)$求函数的单调区间；
$(2)$求函数的值域．

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9．设函数f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）当a=-2时，求函数g（x）=x²f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）=
x2
f(x)
-1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

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10．已知0＜a＜1，且函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点的横坐标为x₀．
（1）求sin2x₀的取值范围；
（2）是否存在实数t，当0＜x＜x₀，不等式5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．

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