知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=
1
2x+1
-
1
2
．
（1）求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

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2．已知函数f（x）=2ae^x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．

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3．已知函数f（x）=(
1
3
)ax2-4x+3，
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

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4．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=
1
f(x)
；②函数y=f（x+1）是偶函数；③当x∈（0，1]时，f（x）=xe^x，则f(-
3
2
)，f(
21
4
)，f(
22
3
)从小到大的排列是．

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5．已知函数y=h（x）的图象与函数y=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，f（x）=h（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a
p
m
，log_a
p
n
]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对∀x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

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6．已知函数g（x）=（
1
3
）^x，
（1）求关于x的函数y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
x2-1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

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7．已知定义在R奇函数f（x）=
2x-a
2x+b
．
（1）求a、b的值；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）求该函数的值域．

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8．设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性．并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0对一切x∈R恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=
3
2
，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

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9．已知函数f（x）=ke^x-2，g（x）=
2kx-k-1
x
．
（1）若h（x）=f（x）-x+2，x∈R，有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
（2）若k＞0，对∀x＞0，均有f（x）≥g（x）成立，求正实数k的取值范围．

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10．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且当x∈（-1，0）时，f（x）=-
3x
9x+1
．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

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