知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=loga(1-
2
x+1
)（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g(x)=log2(a•2x-
4
3
a)(a∈R)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数φ（x）=
a
x+1
，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
9
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有
g(x2)-g(x1)
x 2-x 1
＜-1，求a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），求证：f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D，那么f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件吗？证明你的结论．

难度：较难

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5．设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

难度：较难

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