知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点．
（1）求证：f（x）=x²-|x|+a为偶函数．
（2）求当x≥0时，f（x）的解析式，并作出符合已知条件的函数f（x）图象．
（3）求a的取值范围．

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2．已知函数f(x)=
x+1， 0≤x＜1
2x-
1
2
x≥1
，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b的取值范围是．

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3．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x³，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）

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4．函数f（x）=x+
1
x
+a有零点，则实数a的取值范围是．

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5．已知a为实常数，函数f（x）=
lnx+1
x
-a
（Ⅰ）求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）设g（x）=xf（x）
（i）讨论函数g（x）的单调性；
（ii）若函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

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6．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=
n-g(x)
m+2g(x)
是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

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7．已知函数f（x）=
x+2，x≤-2
x2，-2＜x＜2
2x，x≥2
，
（1）求f（-3），f[f（-3）]．
（2）若f（a）=8，求a的值．

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8．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在[a，b]上有2个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=-x²+（m+2）x-1和g（x）=2x+3是[1，5]上的“关联函数”，则实数m的取值范围为．

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9．已知函数f（x）=log₃
x-1
x+1
，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=-1时，证明h（x）是奇函数；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

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10．已知a＞0且a≠1，函数k（x）=log_a（x+1），f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a
1
1-x
，记F（x）=2k（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

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