知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=clnx+
1
2
x²+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e，（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）设g（x）=lnx+
1
x
-e，若函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．

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3．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

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4．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+1．
（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值m（a）；
（Ⅱ）记g（x）=f（x）+|x-a|，若g（x）在[1，2]上恰有一个零点，求a的取值范围．

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5．已知，函数f（x）=log
1
2
（3-ax），函数g（x）=x²-2x+m．
（1）当a=1时，求x∈[0，1]时f（x）的最大值；
（2）若g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，求m的取值范围；
（3）当a=3时，函数h(x)=(
1
2
)f(x)-3g(x)在x∈（0，1）有两个不同的零点，求m的取值范围．

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6．已知分段函数f（x）=
2x(x≤0)
ax2-(a+1)x+c(x≥0)
．
（1）求实数c的值；
（2）当a=1时，求f[f（-1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

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7．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x³，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）

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8．已知a为实常数，函数f（x）=
lnx+1
x
-a
（Ⅰ）求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）设g（x）=xf（x）
（i）讨论函数g（x）的单调性；
（ii）若函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

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9．已知函数f（x）=2sin²x+
3
sin2x-1．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若方程f（x-
π
6
）+4sinx+1=a在x∈[
π
6
，
π
2
]上有解，求实数a的取值范围．

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10．已知函数f（x）=（ax²+x）•e^x，其中e是自然数的底数，a∈R，
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•e^x+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由；
（3）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•e^x≥0恒成立，求a的取值范围．

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