知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x²+y²+z²的最小值．

难度：较难

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2．已知正实数a、b满足：a²+b²=2
ab
．
（1）求
1
a
+
1
b
的最小值m；
（2）设函数f（x）=|x-t|+|x+
1
t
|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=
m
2
成立，说明理由．

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3．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：
4
α
+
1
β
≥
9
2
．

难度：较难

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4．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．
（1）求集合A；
（2）若∀a，b∈A，x∈R₊，不等式a+b＞（x-4）（
1
x
-9）+m恒成立，求实数m的取值范围．

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5．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求
1
a
+
4
b
的最小值；
（Ⅱ）若不等式
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．

难度：较难

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6．已知x，y∈R⁺，且x+y=2
（Ⅰ）要使不等式
1
x
+
1
y
≥|a+2|-|a-1|恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求证：x²+2y²≥
8
3
．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=|x+a|+|x+
1
a
|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：f(m)+f(-
1
m
)≥4．

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8．已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
7
2
（x²+y²+z²）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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9．观察下列两个结论：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，则
1
a
+
1
b
≥4；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9；先证明结论（Ⅱ），再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，请你写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论？（写出结论，不必证明．）

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10．（1）已知实数x，y满足
2x+1
+
2y+3
=4，则x+y的最小值为多少．
（2）在极坐标系中（ρ，θ）（0＜θ≤2π），曲线ρ（cosθ+sinθ）=2与ρ（sinθ-cosθ）=2的交点的极坐标为．

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