知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．

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2．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

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3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．
①求证：f（x）的图象与x轴有两个交点；
②设函数图象与x轴的两个交点分别为A、B，求线段AB的取值范围．
（Ⅱ）若存在x₁、x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试说明方程f（x）=
f(x1)+f(x2)
2
，必有一根在区间（x₁，x₂）内．

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4．设二次函数y=f（x）的最大值为9，且f（3）=f（-1）=5，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，4]上的最值．

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5．已知定义在R上的函数f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，当n=1，2时比较f_n（x）与x的大小关系．
（2）若对任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）²．

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6．已知函数f（x）=x²+4x+4
（Ⅰ）若x∈[-4，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）定义在[a，b]上的函数f（x），g（x）如果满足，对任意x∈[a，b]，都有f（x）≤g（x）成立，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的弱函数，已知f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函数，求实数a的最大值．

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7．若函数f（x）=x²+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）处的切线相互垂直，则x₂-x₁的最小值为．

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8．已知函数f（x）=ax²+（a-1）x+b的最小值为-1，且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；
（3）若关于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数m的取值范围．

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9．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：
①f（x）的图象过坐标原点；
②对于任意x∈R都有f(-
1
2
+x)=f(-
1
2
-x)成立；
③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）-|λx-1|（其中λ＞0），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

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10．对于每个自然数．抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，|A_nB_n|表示这两点间的距离，那么|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|的值（　　）

A．

2007

2008

B．

2008

2009

C．

2007

2009

D．

2008

2007

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