知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
某公司今年年初用$25$万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为$21$万元$.$同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用$2$万元，第二年各种费用$4$万元，以后每年各种费用都增加$2$万元．

$(1)$引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

$(2)$这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

难度：难

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3．已知函数f（x）=x²+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图像先向右平移a个单位长度，再向下平移a²个单位长度，得到函数g（x）的图像．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x₁ ， x₂ ，且x₁＜4＜x₂ ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有 $\text{[math]}$ ，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．

难度：难

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4．已知函数f（x）=﹣x²+2kx﹣4，若对任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是

难度：难

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5．若二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（2）=f（﹣2），且函数的f（x）的一个零点为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的 $\text{[math]}$ ，4m²f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m²恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

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6．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁ ， x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数 $\text{[math]}$ 是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（）

A． $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

难度：难

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7．
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题$.$某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品$.$已知该单位每月的处理量最少为$400$吨，最多为$600$吨，月处理成本$y($元$)$与月处理量$x($吨$)$之间的函数关系可近似地表示为$y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-200x+80000$．

$(1)$该单位每月处理二氧化碳的量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

$(2)$若每处理一吨二氧化碳的利润为$100$元，该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

难度：难

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