知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．

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2．关于x的方程x²-2tx+t²-1=0的两个根中的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，2）内，则实数t的取值范围是．

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3．已知函数f（x）=2^x（x∈R），
（1）解不等式f（x）-f（2x）＞16-9×2^x；
（2）若函数q（x）=f（x）-f（2x）-m在[-1，1]上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

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4．实系数一元二次方程x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则

b-3

a-1

的取值范围是（　　）

A．[1，3]

B．（1，3）

C．[

，

]

D．(

，

)

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5．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．
①求证：f（x）的图象与x轴有两个交点；
②设函数图象与x轴的两个交点分别为A、B，求线段AB的取值范围．
（Ⅱ）若存在x₁、x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试说明方程f（x）=
f(x1)+f(x2)
2
，必有一根在区间（x₁，x₂）内．

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6．已知函数f（x）=ax²+（a-1）x+b的最小值为-1，且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；
（3）若关于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数m的取值范围．

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7．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：
①f（x）的图象过坐标原点；
②对于任意x∈R都有f(-
1
2
+x)=f(-
1
2
-x)成立；
③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）-|λx-1|（其中λ＞0），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

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8．已知a∈R，函数f（x）=x•|x-a|．
（1）当a=2时，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（2）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（3）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

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9．已知函数f（x）=x²+2x-3
（1）指出图象开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出函数图象，并说明图象是由f（x）=x²经过怎样的平移得到；
（3）求f（2）、f（
1
x
）；
（4）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．

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10．已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），则（　　）

A．f（x）必是偶函数

B．当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称

C．若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数

D．f（x）有最大值|a²-b|

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