知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知函数$f(x)={{x}^{2}}\ln x-2x$．

$($Ⅰ$)$求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；

$($Ⅱ$)$求证：存在唯一的${{x}_{0}}\in (1,2)$，使得曲线$y=f(x)$在点$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$处的切线的斜率为$f(2)-f(1)$；

$($Ⅲ$)$比较$f(1.01)$与$-2.01$的大小，并加以证明．

难度：较难

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2．已知函数 $%CF%86%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%2B1%7D$ ，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 $a%3D%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ ，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有 $%20%5Cfrac%20%7Bg%28x_%7B2%7D%29-g%28x_%7B1%7D%29%7D%7Bx_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D%EF%BC%9C-1$ ，求a的取值范围．

难度：较难

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3．
已知函数$φ(x)= \dfrac {a}{x+1}$，$a$为正常数．
$(1)$若$f(x)=\ln x+φ(x)$，且$a= \dfrac {9}{2}$，求函数$f(x)$的单调增区间；
$(2)$若$g(x)=|\ln x|+φ(x)$，且对任意$x_{1}$，$x_{2}∈(0,2]$，$x_{1}\neq x_{2}$，都有$ \dfrac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} < -1$，求$a$的取值范围．

难度：较难

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4．
设函数$f(x)=x^{3}-3ax^{2}+3bx$的图象与直线$12x+y-1=0$相切于点$(1,-11)$．
$($Ⅰ$)$求$a$，$b$的值；
$($Ⅱ$)$讨论函数$f(x)$的单调性．

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5．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

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6．如果曲线y=x³+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程．

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7．已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

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8．已知函数f（x）=lnx．
（1）若直线y=
1
2
x+m是曲线y=f（x）的切线，求m的值；
（2）若直线y=ax+b是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），是曲线y=f（x）上相异三点，其中0＜x₁＜x₂＜x₃，求证：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．

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9．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=
x1+x2
2
试证明k＞g′（x₀）

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10．我们把y=x^m（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=x^m（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
an
2n-1
≤gn(x)＜an
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：g_n′（n）≥n!a．

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