知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知f′（x）是函数f（x）导函数，且f（x）=x³-2xf′（1），则f′（0）= ______ ．

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3．已知函数f（x）=e^xsinx，则f′（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ）= ______ ．

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4．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求：
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x+1的图象对称中心为；
（2）若函数g（x）=
1
3
x³-
1
2
x²+3x-
5
12
+
2
2x-1
，则g（
1
2016
）+g（
2
2016
）+…+g（
2015
2016
）= ．

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5．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′(x)＜
1
10
，则不等式f(x2)＞
x2+8
10
的解集为．

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6．先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x²+…+
C
n-1
n
x^n-1+
C
n
n
xⁿ（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）^n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
x^k-1；
（Ⅱ）设n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=
n(n2+1)(a0-2n-1)
a1+2a2+3a3+…+nan
，求数列{b_n}的最大项．

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7．已知函数f（x）=xe^x，记f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f₀′（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）且x₂＞x₁，对于下列命题：
①函数f（x）存在平行于x轴的切线；
②
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
③f′₂₀₁₅（x）=xe^x+2017e^x；
④f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁．
其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）．

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