知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=e^x-a（x-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，求a的取值范围．

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2．已知f（x）=2x+3-
ln(2x+1)
2x+1
．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

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3．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：0＜f（x₁）＜
4
e2
且0＜f（x₂）＜
4
e2
．

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4．设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-4e²只有一个零点，求实数a的取值范围．

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5．已知函数f(x)=
k+x
k-x
•ex（k∈R）．
（Ⅰ）若k=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设k≤0，若函数f（x）在区间(
3
，2
2
)上存在极值点，求k的取值范围．

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6．已知函数f（x）=lnx-x+1，记函数f（x）的极大值为m，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=m+
1
2
，
1
an+1
=
an
+a
2
n
2a
2
n
（a_n≠1）．
（1）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：2e Sn＞2ⁿ+1．

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7．已知函数f（x）=x³+nx²+mx，g（x）=nx²-mx，其中m，n∈R．
（1）若当m=n+6时，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且0≤x₁＜1，2≤x₂＜3，求实数n的取值范围和f（x₁）+f（x₂）的取值范围；
（2）当n＞m，且mn≥0时，若函数f（x），g（x）在区间[m，n]上都是单调函数，且单调性相反，求n-2m的最大值．

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8．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）．
（1）若函数f（x）有极小值-
1
e
，求f（x）的单调函数；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（x-1）；
（3）当x∈（1，e）是，不等式
x-1
a
＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

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9．已知关于x的方程x²-2alnx-2ax=0有唯一解，则实数a的值为（　　）

A．1

B．

C．

D．

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10．函数f（x）=（

1+x

-1）lnx的极值点为x=x₀，记e≈2.71828，给出下列4个式子的序号：
①f（x₀）＜x₀；
②f（x₀）＞x₀；
③ef（x₀）＜1；
④e²f（x₀）＞1，
其中，正确的序号是（　　）

A．①③

B．②④

C．③

D．③④

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