知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

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2．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

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3．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

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4．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

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6．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

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7．已知函数f（x）=aln（x-a）-
1
2
x²+x（a＜0）．
（1）当a=-2时，求f（x）在[-
3
2
，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

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8．设函数f（x）=

lnx+x+a

，若曲线y=

e-1

sinx+

e+1

上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[0，e²-e+1]

B．[0，e²+e-1]

C．[0，e²-e-1]

D．[0，e²+e+1]

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9．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

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10．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

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