知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x³-3x²+xlna+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处切线与x轴交点的横坐标为-2．
（1）求a：
（2）当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点，求x的取值范围．

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2．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=
x2
λ+x
-alnx．
（1）当a=
3
4
λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x₀，当x＞x₀时，f（x）＞0．

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3．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

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4．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

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5．已知函数f(x)=
1
2
x2-(a+
1
a
)x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a∈(0，
1
2
)，证明对任意x1，x2∈[
1
2
，1](x1≠x2)，
|f(x1)-f(x2)|
x
2
1
-
x
2
2
＜
1
2
恒成立．

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6．设函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）证明：无论a为何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（2）设点Q（x₀，f（x₀）），当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．

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7．已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x＞0都有f（x）≥0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=f（x）上的两点，且0＜x₁＜x₂，设直线AB的斜率为k，x0=
x1+x2
2
，当k＞f'（x₀）时，证明a＜0．

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8．已知函数f（x）=x³-
1
2
mx2-1的导函数为f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范围．

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9．已知f（x）=
x
ex-1
，g（x）=（2-a）x-2lnx+a-2．
（Ⅰ）当a=2时，求g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程g（x）=0在（0，
1
2
）上无实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对于∀x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同实数x_i（i=1，2），使得f（x₀）=g（x_i），求实数a的取值范围．

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10．已知承数f（x）=
1+μln(x+1)
λx
（λ，μ∈R），g（x）=
k
x+1
，若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-（
1
2
+1n2）x+
3
2
+2ln2．
（1）求λ，μ的值；
（2）求最大的正整数k，∀c＞0，∃b∈（-1，c），且f（c）=g（b）．

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