知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x²+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

难度：较难

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2．设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设 $g%28x%29%3Df%28x%29%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Be%5E%7Bx%7D%7D%EF%BC%8CA%28x_%7B1%7D%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%29%EF%BC%8CB%28x_%7B2%7D%EF%BC%8Cy_%7B2%7D%29%28x_%7B1%7D%E2%89%A0x_%7B2%7D%29$ 是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得 $1%5E%7Bn%7D%2B3%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%2B%282n-1%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7Be%7D%7D%7Be-1%7D%28an%29%5E%7Bn%7D$ 对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=- $%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bx%7D$ （a＞0）
（1）若a=l，求f（x）的极值；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=2lnx+x²-ax+2（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈[-2，0），不等式f（x₀）＞a²+3a+2-2me^a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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5．函数 $f%28x%29%3Dp%28x-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%29-2lnx%EF%BC%8Cg%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B2e%7D%7Bx%7D%EF%BC%9Bp%E2%88%88R$ ．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

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7．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= $%20%5Cfrac%20%7B40%7D%7B3x%2B5%7D$ （1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在 $x%E2%88%88%5B-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C1%29$ 上的最大值为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B8%7D$ ，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设 $F%28x%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20f%28x%29%EF%BC%8Cx%EF%BC%9C1%20%5C%5C%20g%28x%29%EF%BC%8Cx%E2%89%A51%5Cend%7Bcases%7D$ ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

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9．已知函数 $f%28x%29%3Dpx-%20%5Cfrac%20%7Bp%7D%7Bx%7D-2lnx%EF%BC%8Cg%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B2e%7D%7Bx%7D$ ，
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）若p²-p≥0，且至少存在一点x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．

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