知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-
1
2
x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤
1
2
x2+
1
2
恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：
1
k(1)
+
1
k(2)
+…+
1
k(n)
＞
2n
n+2
（n∈N^*）．

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2．已知函数f（x）=xlnx+x²-ax+2（a∈R）有两个不同的零点x₁，x₂．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求证：x₁+x₂＞2．
（3）求证：x₁•x₂＞1．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：0＜f（x₁）＜
4
e2
且0＜f（x₂）＜
4
e2
．

难度：较难

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4．已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

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5．已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；
（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

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6．已知函数f（x）=x³-x²+
x
2
+
1
4
，且存在x₀∈（0，
1
2
），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=
1
2
，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：
yn+1-xn+1
yn-xn
＜
1
2
．

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7．已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（
a+b
2
）＜（b-a）ln2．

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8．求证：x＞1时，2x³＞x²+1．

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