知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

\((1)\)已知实数\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} & x+2y-2\geqslant 0 \\ & 2x+y-4\leqslant 0 \\ & y\leqslant x+1 \end{cases}\)，且\(m=\dfrac{x+3y+4}{x+1}\)，则实数\(m\)的取值范围________．

\((2).\)双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)是双曲线右支上一点，\(I\)为\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的内心，\(Pl\)交\(x\)轴于\(Q\)点\(.\)若\(|F_{1}Q|=|PF_{2}|\)，且\(PI︰IQ=2︰1\)，则双曲线的离心率\(e\)的值为________。

\((3).\)若平面向量\(\overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{{{e}_{2}}}\)满足\(|\overrightarrow{{{e}_{1}}}|=|3\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}|=2\) ，则\(\overrightarrow{{{e}_{1}}}\)在\(\overrightarrow{{{e}_{2}}}\)方向上投影的最大值是________．

\((4).\)观察下列各式；

\(1^{3}=1\)．

\(2^{3}=3+5\)．

\(3^{3}=7+9+11\)．

\(4^{3}=l3+15+17+19\)；

\(……\)

若\(m^{3}(m∈N^{*})\)按上述规律展开后\(.\)发现等式右边含有“\(2017\)”这个数，则\(m\)的值为________．

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3．已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=20\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n-1\)，\(n∈N^{*}\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}=\) ______ ．

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4．
在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n}}\)，设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((3)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和．

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5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数\(.\)他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(…\)记为数列\(\{a_{n}\}\)，将可被\(5\)整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列\(\{b_{n}\}\)，可以推测：
\((\)Ⅰ\()b_{2012}\)是数列\(\{a_{n}\}\)中的第 ______ 项；
\((\)Ⅱ\()b_{2k-1}=\) ______ \(.(\)用\(k\)表示\()\)

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6．

如表定义函数\(f(x)\)：对于数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=4\)，\(a_{n}=f(a_{n-1})\)，\(n=2\)，\(3\)，\(4\)，\(…\)，则\(a_{2014}\)的值是\((\) \()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

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7．
已知无穷数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)，\({a}_{1}=1 \)，\({a}_{2}=2 \)，对任意\(n∈{N}^{*} \)，有\({a}_{n+2}={a}_{n} \)，数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)满足\({b}_{n+1}-{b}_{n}={a}_{n} (n∈{N}^{*} )\)，若数列\(\left\{ \dfrac{{b}_{2n}}{{a}_{n}}\right\} \)中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的\({b}_{1} \)的值为

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8．
如图甲是第七届国际数学教育大会\((\)简称\(ICME-7)\)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中\(OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=…=A_{7}A_{8}=1\)，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记\(OA_{1}\)，\(OA_{2}\)，\(…OA_{n}\)，\(…\)的长度构成数列\(\{a_{n}\}\)，则此数列的通项公式为\(a_{n}=\) ______ ．

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9．

“中国剩余定理”又称“孙子定理”\(.1852\)年英国来华传教伟烈亚利将\(《\)孙子算经\(》\)中“物不知数”问题的解法传至欧洲\(.1874\)年，英国数学家马西森指出此法符合\(1801\)年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”\(.\) “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将\(2\)至\(2017\)这\(2016\)个数中能被\(3\)除余\(1\)且被\(5\)除余\(1\)的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列\(\{a_{n}\}\)，则此数列的项数为\((\) \()\)

A．\(134\)

B．\(133\)

C．\(132\)

D．\(135\)

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10．已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式为 \(a_{n}\)\(=\) \(n\)\({\,\!}^{2}-8\) \(n\)\(+15\)，则\(3(\)　　\()\)．

A．不是数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中的项

B．只是数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中的第\(2\)项

C．只是数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中的第\(6\)项

D．是数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中的第\(2\)项或第\(6\)项

难度：较难

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