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          共50条信息

            • 1．

              设正项数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}a_{n}^{2}+\dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((\)Ⅰ\()\)计算\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\)的值，猜想\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式，并证明你的结论；

              \((\)Ⅱ\()\)设\({{T}_{n}}\)是数列\(\{\dfrac{1}{a_{n}^{2}}\}\)的前\(n\)项和，证明：\({{T}_{n}} < \dfrac{4n}{2n+1}\) ．

              难度：较难
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            • 2． 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              an+1
              an
              +
              an
              an+1
              （∈N*），试求
              lim
              n→∞
              （b1+b2+…+bn-2n）的值；
              （3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 3． 设{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{an}是封闭数列．
              （1）若a1=2，q=3，判断{an}是否为封闭数列，并说明理由；
              （2）证明{an}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a1=qm；
              （3）记Πn是数列{an}的前n项之积，bn=log2Πn，若首项a1为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{an}，使
              lim
              n→∞
              (
              1
              b1
              +
              1
              b2
              +…+
              1
              bn
              )=
              11
              9
              ，若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 4． 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
              .
              x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
              ．如：A=
              .
              2(-1)(3)(-2)(1)
              ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
              （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
              （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
              1
              1-ak
              ，k∈N*              ，bn=
              .
              2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
              （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
              （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
              .
              2(
              C
              1
              n
              )(
              C
              2
              n
              )(
              C
              3
              n
              )…(
              C
              n-1
              n
              )(
              C
              n
              n
              )
              ，求
              lim
              n→∞
              dn
              dn+1
              ．
              难度：较难
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            • 5． 设数列的首项a1=a（a≠
              1
              4
              ），an+1=
              1
              2
              an，n=2k
              an+
              1
              4
              ，n=2k-1
              （k∈N*），且bn=a2n-1-
              1
              4
              （n∈N*）．
              （1）求a2，a3；
              （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
              （3）求
              lim
              n→∞
              （b1+b2+…+bn）．
              难度：较难
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            • 6． 由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f-1（n），若对于任意n∈N*，都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”．
              （1）若函数f（x）=
              px+1
              x+1
              确定数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
              （2）已知正数数列{cn}的前n项之和Sn=
              1
              2
              (cn+
              n
              cn
              )              ，写出Sn表达式，并证明你的结论；
              （3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=
              -1
              an
              S
              2
              n
              ，Dn是数列{dn}的前n项之和，且
              lim
              n→∞
              Dn              ＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．
              难度：较难
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