知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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2．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

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3．函数f(x)=
3x
2x+3
，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜
m-2003
2
对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

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4．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

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5．在数列{a_n}中，a₁=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设cn=lo
g
(an-1)2
4
3
，数列{
1
cncn+2
}的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜
m
16
成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）若
an
λ
+
1
an+1
≥
1
λ
对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

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7．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），
4-
a
2
n
+a_n+1²=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求证：当x∈（0，
π
2
）时，sinx＜x
（2）求a_n，并证明：若θ=
π
4
，则a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整数m，使得b_n≥msinθ对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

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8．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R），设数列的前n项和为S_n，且
1
a1
，
1
a2
，
1
a4
成等差数列．（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n（2）记A_n=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
，B n=
1
a1
+
2
a2
3
a22
+…+
n
a2n-1
，当n≥2时，计算A_n与B_n，并比较A_n与B_n的大小（比较大小只需写出结果，不用证明）．

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9．设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=
an2
2(an-1)
（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

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10．已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+
3
2
≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，b1+
2
b2+
3
b3+…+
n
bn＜
3
4
．

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