知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•内蒙古月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
AC
的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD=
DE•DB
；
（2）若CD=2
6
，点O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

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2．已知M（2，0），N（0，-2），C为MN中点，点P满足CP=
1
2
MN．
（1）求点P构成曲线的方程．；
（2）是否存在过点（0，-1）的直线l与（1）所得曲线交于点A、B，且A、B在y轴上投影为D、E，使
OD
•
OE
=1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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3．（2015秋•邢台校级月考）已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（1）当PQ=2
3
时，求直线l的方程；
（2）探索
AM
•
AN
是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

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4．已知
m
=(a，b)，
n
=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=
m
•
n
，满足f（
π
3
）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=
5π
6
对称．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，
π
2
]上总有实数解，求实数k的取值范围．

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5．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是该三角形的面积，若向量
m
=(2sinB，cos2B)，
n
=(2cos2(
π
4
+
B
2
)，-1)，且
m
•
n
=
3
-1．
（1）求角B的大小；
（2）若B为锐角，a=6，S=6
3
，求b的值．

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6．已知
e
1，
e
2是空间单位向量，
e
1•
e
2=
1
2
，若空间向量
b
满足
b
•
e
1=2，
b
•
e
2=
5
2
，且对于任意x，y∈R，|
b
-(x
e1
+y
e2
)|≥|
b
-(x0
e1
+y0
e2
)|=1(x0，y0∈R)，则x₀= ，y₀= ，|
b
|= ．

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7．已知向量
a
=（cos
3x
2
．-sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，sin
x
2
）
（1）设函数f（x）=
a
•
b
，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|，若g（x）的最小值是-
3
2
，求实数λ的值．

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8．己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为
3
2

（Ⅰ）求长方体体积的最大值；
（Ⅱ）设
m
=（1，3，
6
），
n
=（a，b，c），求
m
•
n
的最大值．

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9．已知向量

，

满足

•

=1，则|

|的最小值为（　　）

A．2

B．4

C．

D．16

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10．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

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