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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=a（x-1）（ex-a）（常数a∈R且a≠0）．
              （Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
              （Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f（x1）＜
              4
              e2
              且0＜f（x2）＜
              4
              e2
              ．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn-1（x）的导数，n∈N*．
              （1）求f1（x），f2（x）的表达式；
              （2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 3． 对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn={x|x=
              a
              		b
              ，a∈En，b∈En}              ．若集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．
              如当n=2时，E2={1，2}，P2={1，2，
              1
              		2
              ，
              2
              		2
              }              ．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．
              （Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．
              （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．
              （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．
              难度：较难
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            • 4． 设f（x）=x2-x+13，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．
              难度：较难
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            • 5． 求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
              （1）求f（x）的单调区间；
              （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；
              （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）2，其中n≥2．
              难度：较难
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            • 7． 有下列几个命题：①若
              a
              与
              b
              -
              c
              都是非零向量，则“
              a
              •
              b
              =
              a
              •
              c
              ”是“
              a
              ⊥(
              b
              -
              c
              )              ”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是
              		15
              7
              ；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设
              a
              ，
              b
              ，
              c
              为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
              a
              与
              b
              不共线，
              a
              ⊥
              c
              ，|
              a
              |=|
              c
              |，则|
              b
              •
              c
              |的值一定等于以
              a
              ，
              b
              为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是    ．（写出全部正确结论的序号）
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）=x3-x2+
              x
              2
              +
              1
              4
              ，且存在x0∈（0，
              1
              2
              ），使f（x0）=x0．
              （1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
              （2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=
              1
              2
              ，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，证明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；
              （3）证明：
              yn+1-xn+1
              yn-xn
              ＜
              1
              2
              ．
              难度：较难
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            • 9． 下列各组对象能确定一个集合的是    
              （1）所有很大的实数．   
              （2）好心的人．    
              （3）1，2，2，3，4，5．
              难度：较难
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