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          共50条信息

            • 1． 经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1类似的性质为：经过椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1上一点P（x0，y0）的切线方程为    ．
              难度：较难
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            • 2． 在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={
              a
              |
              a
              =(x，y)，x∈R，y∈R}              上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量
              a1
              =(x1，y1)，
              a2
              =(x2，y2)              ，
              a1
              ＞
              a2
              当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．
              按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
              ①若
              e1
              =(1，0)，
              e2
              =（0，1），
              0
              =(0，0)              则
              e1
              ＞
              e2
              ＞
              0
              ；
              ②若
              a1
              ＞
              a2
              ，
              a2
              ＞
              a3
              ，则
              a1
              ＞
              a3
              ；
              ③若
              a1
              ＞
              a2
              ，则对于任意
              a
              ∈D              ，
              a1
              +
              a
              ＞
              a2
              +
              a
              ；
              ④对于任意向量
              a
              ＞
              0
              ，
              0
              =(0，0)              ，若
              a1
              ＞
              a2
              ，则
              a
              •
              a1
              ＞
              a
              •
              a2
              ．
              其中真命题的序号为    ．
              难度：较难
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            • 3． 对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
              9R
              2
              ”．
              证明如下：
              OA1
              AA1
              +
              OB1
              BB1
              +
              OC1
              CC1
              =
              S△OBC
              S△ABC
              +
              S△OAC
              S△ABC
              +
              S△OAB
              S△ABC
              =1              ，
              即：
              AA1-R
              AA1
              +
              BB1-R
              BB1
              +
              CC1-R
              CC1
              =1              ，即
              1
              AA1
              +
              1
              BB1
              +
              1
              CC1
              =
              2
              R
              ，
              由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
              1
              AA1
              +
              1
              BB1
              +
              1
              CC1
              )≥9              ．∴AA1+BB1+CC1≥
              9R
              2
              ．
              将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则    ”．
              难度：较难
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            • 4． 老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
              OP
              =
              OA
              +λ(
              AB
              cosC
              |
              AB
              |
              +
              AC
              cosB
              |
              AC
              |
              )              ，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为
              OP
              =    ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）
              难度：较难
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