知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

难度：较难

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2．
一种计算装置，有一数据入口\(A\)和一个运算出口\(B\)，按照某种运算程序：

\(①\)当从入口\(A\)输入自然数\(1\)时，从出口\(B\)得到\(\dfrac{{1}}{{3}}\)，记为\(f(1)=\dfrac{1}{3}\)；

\(②\)当从入口\(A\)输入自然数\(n(n\geqslant 2)\)时，在出口\(B\)得到的结果\(f(n)\)是前一个结果\(f(n-1)\)的\(\dfrac{{2}(n-{1})-{1}}{{2}(n-{1})+{3}}\)倍\(.\)

当从入口\(A\)分别输入自然数\(2\)，\(3\)，\(4\)时，从出口\(B\)分别得到什么结果？试猜想\(f(n)\)的表达式，并证明你的结论．

难度：较难

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3．如图\(P_{1}\)是一块半径为\(1\)的半圆形纸板，在\(P_{1}\)的左下端剪去一个半径为\(\dfrac{1}{2}\)的半圆后得到图形\(P_{2}\)，然后依次剪去一个更小半圆\((\)其直径为前一个被剪掉半圆的半径\()\)得圆形\(P_{3}\)、\(P_{4}\)、\({…}\)、\(P_{n}{…}\)，记纸板\(P_{n}\)的面积为\(S_{n}\)，则\(\underset{n{→∞}}{{li}m}S_{n}{=}\) ______ ．

难度：较难

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4．

已知各项都是正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{1}}{{12}{{a}_{n}}}(n\in {{N}^{{*}}})\)．

\((1)\)用数学归纳法证明：\(a_{2n+1} < a_{2n-1}\)；

\((2)\)证明：\(\dfrac{1}{6}\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 1\)．

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5．如图，在圆内：画\(1\)条弦，把圆分成\(2\)部分；画\(2\)条相交的弦，把圆分成\(4\)部分；画\(3\)条相交的弦，把圆最多分成\(7\)部分；\(…\)画\(n\)条相交的弦，把圆最多分成 ______ 部分．

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6．

已知数列的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，\({{a}_{1}}=-\dfrac{2}{3}\)，满足\({{S}_{n}}+\dfrac{1}{{{S}_{n}}}+2={{a}_{n}}(n\geqslant 2)\)，通过计算\({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}},\)可猜想\({{S}_{n}}\)的表达式为

A．\(-\dfrac{{{n}^{2}}+5}{3n+6}\)

B．\(-\dfrac{n+1}{n+2}\)

C．\(-\dfrac{3n+3}{{{n}^{2}}+8}\)

D．\(-\dfrac{n+1}{2n+1}\)

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7．

如图所示，在梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，对角线\(AC\)，\(BD\)交于\(P_{1}\)，过\(P_{1}\)作\(AB\)的平行线交\(BC\)于点\(Q_{1}\)，\(AQ_{1}\)交\(BD\)于\(P_{2}\)，过\(P_{2}\)作\(AB\)的平行线交\(BC\)于点\(Q_{2}\)，\(….\)若\(AB=a\)，\(CD=b\)，则\(P_{n}Q_{n}=\)________\(.(\)用\(a\)，\(b\)，\(n\)表示\()\)

难度：较难

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8．

已知点\(A({x}_{1},{{x}_{1}}^{2}) \)，\(B({x}_{2},{{x}_{2}}^{2}) \)是函数\(y=x^{2}\)图象上任意不同的两点，依据图象知，线段\(AB\)总是位于\(A\)，\(B\)两点之间函数图象的上方，因此有结论\(\dfrac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2} > {\left( \dfrac{{x}_{{}^{1}}+{x}_{{}^{2}}}{2}\right)}^{2} \)成立，运用类比方法可知，若点\(A(x_{1},\sin x_{1})\)，\(B(x_{2},\sin x_{2})\)是函数\(y=\sin x(x∈(0,π))\)图象上不同的两点，则类似地有结论 \((\) \()\)

A．\(\dfrac{\sin {x}_{1}+\sin {x}_{2}}{2} > \sin \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2} \)

B．\(\dfrac{\sin {x}_{1}+\sin {x}_{2}}{2} < \sin \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2} \)

C．\(\dfrac{\sin {x}_{1}+\sin {x}_{2}}{2}\geqslant \sin \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2} \)

D．\(\dfrac{\sin {x}_{1}+\sin {x}_{2}}{2}\leqslant \sin \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2} \)

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9．
经过圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)上一点\(M(x_{0},y_{0})\)的切线方程为\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.\)类比上述性质，可以得到椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)类似的性质为：经过椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)上一点\(P(x_{0},y_{0})\)的切线方程为 ______ ．

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10．

将正奇数排列如图形式，其中第\(i\)行第\(j\)个数表示\({{a}_{ij}}(i,j\in {{N}^{*}})\)，例如\({{a}_{32}}=9\)，若\({{a}_{ij}}=2019\)，则\(i+j=\)________．

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