知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：

$(1)$求这部分学生成绩的样本平均数$\overline{x}$和样本方差$s^{2}($同一组数据用该组的中点值作为代表$)$

$(2)$由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩$X$服从正态分布$N(\overline{x}{,}s^{2})$．
${①}$利用正态分布，求$P(X{\geqslant }129)$；
${②}$若该校高二共有$1000$名学生，试利用${①}$的结果估计这次测验中，数学成绩在$129$分以上$($含$129$分$)$的学生人数${.}($结果用整数表示$)$
附：${①}\sqrt{210}{≈}14{.}5{②}$若$X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})$，则$P(\mu{-}2\sigma{ < }X{ < }\mu{+}2\sigma){=}0{.}9544$．

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2．

某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店$1$月份中$5$天的日销售量$y($单位：千克$)$ 与该地当日最低气温$x($单位：${{ }}^{{∘}}C)$ 的数据，如下表：

$x$

$2$

$5$

$8$

$9$

$11$

$y$

$12$

$10$

$8$

$8$

$7$

$(1)$ 求出$y$与$x$的回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$(2)$ 判断$y$与$x$之间是正相关还是负相关；若该地$1$月份某天的最低气温为$6^{{∘}}C$，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
$(3)$ 设该地$1$月份的日最低气温$X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})$，其中$\mu$近似为样本平均数$\bar{x}$，$\sigma^{2}$近似为样本方差${{s}^{2}}$，求$P(3{.}8{ < }X{ < }13{.}4)$．
附：${①}$ 回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中，$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\bar{x}\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．
${②}\sqrt{10}{≈}3{.}2$，$\sqrt{3{.}2}{≈}1{.}8{.}$ 若$X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})$，则$P(\mu{-}\sigma{ < }X{ < }\mu{+}\sigma){=}0{.}6826$，$P(\mu{-}2\sigma{ < }X{ < }\mu{+}2\sigma){=}0{.}9544$．

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3．
在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了$100$名考生的成绩$($单位：分$)$，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：
组别 $[40,50)$ $[50,60)$ $[60,70)$ $[70,80)$ $[80,90)$ $[90,100]$
频数 $5$ $18$ $28$ $26$ $17$ $6$
$(1)$求抽取的样本平均数$ \overline {x}$和样本方差$s^{2}($同一组中的数据用该组区间的中点值作代表$)$；
$(2)$已知这次考试共有$2000$名考生参加，如果近似地认为这次成绩$z$服从正态分布$N(μ,σ^{2})($其中$μ$近似为样本平均数$ \overline {x}$，$σ^{2}$近似为样本方差$s^{2})$，且规定$82.7$分是复试线，那么在这$2000$名考生中，能进入复试的有多少人？$($附：$ \sqrt {161}≈12.7$，若$z～N(μ,σ^{2})$，则$P(μ-σ < z < μ+σ)=0.682$，$P(μ-2σ < z < μ+2σ)=0.9544.)$．
$(3)$已知样本中成绩在$[90,100]$中的$6$名考生中，有$4$名男生，$2$名女生，现从中选$3$人进行回访，记选出的男生人数为$ξ$，求$ξ$的分布列与期望$E(ξ)$．

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4．在一次测试中，测量结果$X$服从正态分布$N(2,σ^{2})(σ > 0)$，若$X$在$(0,2)$内取值的概率为$0.2$，求：
$(1)X$在$(0,4)$内取值的概率；

$(2)P(X > 4)$．

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5．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取$16$个零件，并测量其尺寸$($单位：$cm).$根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布$N(\mu ,{{\sigma }^{2}})$．
$(1)$假设生产状态正常，记$X$表示一天内抽取的$16$个零件中其尺寸在$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件数，求$P(X\geqslant 1)$及$X$的数学期望；
$(2)$一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
$(ⅰ)$试说明上述监控生产过程方法的合理性；

$(ⅱ)$下面是检验员在一天内抽取的$16$个零件的尺寸：

$9.95$

$10.12$

$9.96$

$9.96$

$10.01$

$9.92$

$9.98$

$10.04$

$10.26$

$9.91$

$10.13$

$10.02$

$9.22$

$10.04$

$10.05$

$9.95$

经计算得$\bar{x}=\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}{{{x}_{i}}}=9.97$，$s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_{i}^{2}-16{{{\bar{x}}}^{2}}{{)}^{2}}}}\approx 0.212$，其中${{x}_{i}}$为抽取的第$i$个零件的尺寸，$i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$．用样本平均数$\bar{x}$作为$\mu $的估计值$\hat{\mu }$，用样本标准差$s$作为$\sigma $的估计值$\hat{\sigma }$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除$(\hat{\mu }-3\hat{\sigma },\hat{\mu }+3\hat{\sigma })$之外的数据，用剩下的数据估计$\mu $和$\sigma $$($精确到$0.01)$．

附：若随机变量$Z$服从正态分布$N(\mu ,{{\sigma }^{2}})$，则$P(\mu -3\sigma < Z < \mu +3\sigma )=0.997{ }4$，$0.997{ }{{4}^{16}}=0.959{ }2$，$\sqrt{0.008}\approx 0.09$．

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6．

某公司共有$10$条产品生产线，不超过$5$条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为$1100$元，超过$5$条生产线正常工作时，超过的生产线每条每天纯利润为$800$元，原生产线利润保持不变$.$未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共$100$元$.$用$x$表示每天正常工作的生产线条数，用$y$表示公司每天的纯利润．

$($Ⅰ$)$写出$y$关于$x$的函数关系式，并求出纯利润为$7700$元时工作的生产线条数．

$($Ⅱ$)$为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取$100$件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数$\overline{x}=14$，标准差$s=2$，绘制如图所示的频率分布直方图$.$以频率值作为概率估计值．

为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为$X$，依据以下不等式评判$(P$表示对应事件的概率$)$

$①P(\overline{x}-s < X < \overline{x}+s)\geqslant 0.6826$

$②P(\overline{x}-2s < X < \overline{x}+2s)\geqslant 0.9544$

$③P(\overline{x}-3s < X < \overline{x}+3s)\geqslant 0.9974$

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线$.$试判断该生产线是否需要检修．

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7．
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取$16$个零件，并测量其尺寸$($单位：$cm).$根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布$N\left( \mu ,{{\sigma }^{2}} \right)$．

$(1)$假设生产状态正常，记$X$表示一天内抽取的$16$个零件中其尺寸在$\left( \mu -3\sigma ,\mu +3\sigma \right)$之外的零件数，求$P\left( X\geqslant 1 \right)$及$X$的数学期望；

$(2)$一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在$\left( \mu -3\sigma ,\mu +3\sigma \right)$之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

$(ⅰ)$试说明上述监控生产过程方法的合理性；

$(ⅱ)$下面是检验员在一天内抽取的$16$个零件的尺寸：

$9.95$

$10.12$

$9.96$

$9.96$

$10.01$

$9.92$

$9.98$

$10.04$

$10.26$

$9.91$

$10.13$

$10.02$

$9.22$

$10.04$

$10.05$

$9.95$

经计算得$\bar{x}=\dfrac{1}{16}\underset{16}{\overset{i=1}{\sum}}\,{{x}_{i}}=9.97$，$s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\underset{16}{\overset{i=1}{\sum}}\,{{\left({{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}{{(\underset{i=1}{\overset{16}{ \sum }}\,x_{i}^{2}-16{{{\bar{x}}}^{2}})}^{2}}}\approx 0.212$，其中${{x}_{i}}$为抽取的第$i$个零件的尺寸，$i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$．

用样本平均数$\bar{x}$作为$\mu $的估计值$\hat{\mu }$，用样本标准差$s$作为$\sigma $的估计值$\hat{\sigma }$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除$\left( \hat{\mu }-3\hat{\sigma },\hat{\mu }+3\hat{\sigma } \right)$之外的数据，用剩下的数据估计$\mu $和$\sigma ($精确到$0.01)$．

附：若随机变量$Z$服从正态分布$N\left( \mu ,{{\sigma }^{2}} \right)$，则$P(\mu -3\sigma < Z < \mu +3\sigma )=0.9974$，

${{0.9974}^{16}}=0.9592$，$\sqrt{0.008}\approx 0.09$．

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8．
$($本小题满分$12$分$)$从某企业生产的某种产品中抽取$500$件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：

$(1)$求这$500$件产品质量指标值的样本平均数和样本方差$s^{2}($同一组中的数据用该组区间的中点值作代表$)$．

$(2)$由直方图可以认为，这种产品的质量指标值$Z$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，其中$μ$近似为样本平均数，$σ^{2}$近似为样本方差$s^{2}$．

$①$利用该正态分布，求$P(187.8 < Z < 212.2)$．

$②$某用户从该企业购买了$100$件这种产品，记$X$表示这$100$件产品中质量指标值位于区间$(187.8,212.2)$的产品件数，利用$①$的结果，求$EX$．

附： $≈12.2$．

若$Z～N(μ,σ^{2})$，则$P(μ-σ < Z < μ+σ)=0.6826$，$P(μ-2σ < Z < μ+2σ)=0.9544$．

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9．填空题
$(1)$已知随机变量$ξ$，$η$满足$ξ+η=8$，且$ξ～B(10,0.6)$，则$D(η)$的值是

$(2)$计算$\int_{-3}^{3}{(\sqrt{9-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}})dx}$的值_______．

$(3)$已知偶函数$f(x)$对任意$x∈R$均满足$f(2+x)=f(2-x)$，且当${-}2\leqslant x\leqslant 0$时，$f(x)={{\log }_{3}}(1-x)$，则$f(2018)$的值是________．

$(4)$函数$f(x)={x}^{3}-3{x}^{2}-9x+3 $，若函数$g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5] $上有$3$个零点，则$m$的取值范围为．

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10．
在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

组别 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 5 18 28 26 17 6
（1）求抽取的样本平均数x和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N（μ，σ²）（其中μ近似为样本平均数 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ，σ²近似为样本方差s²），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附： $%20%5Csqrt%20%7B161%7D$ ≈12.7，若z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．）．
（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．

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0/40

进入组卷

\(x\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)	\(11\)
\(y\)	\(12\)	\(10\)	\(8\)	\(8\)	\(7\)

组别	\([40,50)\)	\([50,60)\)	\([60,70)\)	\([70,80)\)	\([80,90)\)	\([90,100]\)
频数	\(5\)	\(18\)	\(28\)	\(26\)	\(17\)	\(6\)

\(9.95\)	\(10.12\)	\(9.96\)	\(9.96\)	\(10.01\)	\(9.92\)	\(9.98\)	\(10.04\)
\(10.26\)	\(9.91\)	\(10.13\)	\(10.02\)	\(9.22\)	\(10.04\)	\(10.05\)	\(9.95\)

\(9.95\)	\(10.12\)	\(9.96\)	\(9.96\)	\(10.01\)	\(9.92\)	\(9.98\)	\(10.04\)
\(10.26\)	\(9.91\)	\(10.13\)	\(10.02\)	\(9.22\)	\(10.04\)	\(10.05\)	\(9.95\)

组别	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	5	18	28	26	17	6