现有\(\dfrac{n\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)}}{2}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)个给定的不同的数随机排成一个如图所示的三角形数阵：设\(M_{k}\)是第\(k\)行中的最大数，其中\(1\leqslant k\leqslant n\)，\(k∈N^{*}\)，记\(M_{1} < M_{2} < … < M_{n}\)的概率为\(P_{n}\)．

\((1)\) 求\(P_{2}\)的值\(;\)

\((2)\) 求证：\(P_{n} > \dfrac{C_{n{+}1}^{2}}{\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)!}}\)．

二项式\({{({{x}^{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}})}^{10}}\)的展开式中常数项为________．

对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法\(.\)利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．

例如，考察恒等式\((1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}(n∈N^{*})\)，左边\(x^{n}\)的系数为\(C_{2n}^{n}.\)而右边\((1+x)^{n}(1+x)^{n}=(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+…+C_{n}^{n}x^{n})(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+…+C_{n}^{n}x^{n})\)，

\(x^{n}\)的系数为\(C_{n}^{0}C_{n}^{n}+C_{n}^{1}C_{n}^{n\mathrm{{-}}1}+…+C_{n}^{n}C_{n}^{0}=(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+…+(C_{n}^{n})^{2}\)，因此，可得到组合恒等式\(C_{2n}^{n}=(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+…+(C_{n}^{n})^{2}\)．

\((1)\) 根据恒等式\((1+x)^{m+n}=(1+x)^{m}(1+x)^{n}(m,n∈N^{*})\)两边\(x^{k}(\)其中\(k∈N\)，\(k\leqslant m\)，\(k\leqslant n)\)的系数相同，直接写出一个恒等式\(;\)

\((2)\)利用算两次的思想方法或其他方法证明：\(\underset{\left\lbrack \dfrac{n}{2} \right\rbrack}{\overset{k{=}0}{\mathrm{{∑}}}}C_{n}^{2k}\mathrm{{·}}2^{n\mathrm{{-}}2k}\mathrm{{·}}C_{2k}^{k}{=}C_{2n}^{n}\mathrm{{,}}\mathrm{{其中}}\left\lbrack \dfrac{n}{2} \right\rbrack\mathrm{{是指不超过}}\dfrac{n}{2}\mathrm{{的最大整数}}\mathrm{{.}}\)

\(S=C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+…+C_{27}^{27}\)除以\(9\)的余数为(    )

在\((1+x+{x}^{2})=D_{n}^{0}+D_{n}^{1}x+D_{n}^{2}x+...+D_{n}^{r}{x}^{r}+...+D_{n}^{2n-1}{x}^{2n-1}+D_{n}^{2n}{x}^{2n} \)的展开式中，把\(D_{n}^{0},D_{n}^{1},D_{n}^{2},...D_{n}^{2n} \)叫做三项式系数．

\((\)Ⅰ\()\)当\(n=2\)时，写出三项式系数\(D_{1}^{0},D_{2}^{1},D_{3}^{2},D_{2}^{4} \)的值；

\((\)Ⅱ\()\)二项式\((a+b)^{n}(n∈N)\)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图：

当\(0\leqslant n\leqslant (n∈N)\)时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的\(n\)次系数列的数阵表；

\((\)Ⅲ\()\)求\(D_{2016}^{0}C_{2016}^{0}-D_{2016}^{1}C_{2016}^{1}+D_{2016}^{2}C_{2016}^{2}-D_{2016}^{3}C_{2016}^{3}+D_{2016}^{2016}C_{2016}^{2016} \)的值\((\)可用组合数作答\()\)．

给出下面的数表序列：

其中表\(n(n=1,2,3,⋯ )\)有\(n\)行，第\(1\)行的\(n\)个数是\(1\) ，\(3\) ，\(5\)，，\(2n-1\)，从第\(2\)行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．

\((1)\)写出表\(4\)，验证表\(4\)各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表\(n(n\geqslant 3 )(\)不要求证明\()\)；

\((2)\)每个序列中最后一行都只有一个数，它们构成数列\(1\) ，\(4\) ，\(12\) ，，记此数列为\(\{b_{n}\}\) ，求和：\( \dfrac{{b}_{3}}{{b}_{1}{b}_{2}}+ \dfrac{{b}_{4}}{{b}_{2}{b}_{3}}+⋯ \dfrac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}} \) \((n∈{N}^{*}) \)

\((3)\)若数列\(\{c_{m}\}\) ，其中\({c}_{m}={3}^{m} \)，试确定所有的\(p\) ，使数列\(\{c_{m}\}\)中存在某个连续\(p\)项的和是表\(n(n\geqslant 3 )\)第一行中的项，请用高中所学知识证明．