已知在平面直角坐标系\(xoy\)中，点\(M(\sqrt{3},0),N(-\sqrt{3},0)\)，动点\(P\)满足直线\(PM\)与\(PN\)的斜率乘积为\(-\dfrac{2}{3}.(1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；\((2)\)设动点\(P\)形成的轨迹为\(C\)，\({{F}_{1}}(-1,0),{{F}_{2}}(1,0)\)，连接\(P{{F}_{1}}\)与曲线\(C\)的另一个交点为\(A\)，连接\(P{{F}_{2}}\)与曲线\(C\)的另一交点为\(B\)，设\(\overrightarrow{P{{F}_{1}}}={{\lambda }_{1}}\overrightarrow{{{F}_{1}}A},\overrightarrow{P{{F}_{2}}}={{\lambda }_{2}}\overrightarrow{{{F}_{2}}B},\)证明：\({{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}}\)为定值．

已知椭圆\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(\sqrt{7}x-\sqrt{5}y+12=0\)相切．

\((1)\)求椭圆\({C}\)的方程；

\((2)\)设\({A} \left( -4,0 \right)\)，过点\({R}\left( 3,0 \right)\)作与\(x\)轴不重合的直线\(l\)交椭圆\({C}\)于\(P\)，\(Q\)两点，连接\(AP\)，\(AQ\)分别交直线\(x=\dfrac{16}{3}\)于\({M} \)，\({N} \)两点，若直线\({M} {R}\)、\({N} {R}\)的斜率分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}\)，试问：\({{k}_{1}}{{k}_{2}}\)是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

\((1)\)求椭圆方程；

\((2)\)若\(C,D\)分别是椭圆长轴的左右端点，动点\(M\)满足\(MD\bot CD\)，连接\(CM\)，交椭圆于点\(P\)，证明：\(\overrightarrow{OM}\bullet \overrightarrow{OP}\)为定值；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，试问\(x\)轴上是否存在异于点\(C\)的定点\(Q\)，使得以\(MP\)为直径的圆恒过直线\(DP,MQ\)的交点？若存在，求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > {b} > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线\(2x-\sqrt{2}y+6=0\)相切；

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)已知点\(A,B\)为动直线\(y=k(x-2)(k\neq 0) \)与椭圆\(C\)的两个交点，问：在\(x\)轴上是否存在点\(E\)，使\({{\overrightarrow{EA}}^{2}}+\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{{AB}}\)为定值？若存在，求出\(E\)的坐标和定值；若不存在，说明理由。

如图椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 (a > b > 0)\)的焦距为\(2\sqrt{3}\)，上下顶点分别为\(A(0,1)\)，\(B(0,-1)\)，过点\(P(0,2)\)斜率为\(k\)的直线\(l\)交椭圆于两个不同的点\(C\)，\(D\)，直线\(AD\)与\(BC\)交于点\(Q\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(M\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)试探究点\(Q\)的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

已知曲线\(Γ\)上的点到点\(F(0,1)\)的距离比它到直线\(y=-3\)的距离小\(2\)．

    \((1)\)求曲线\(Γ\)的方程；

    \((2)\)曲线\(Γ\)在点\(P\)处的切线\(l\)与\(x\)轴交于点\(A\)，直线\(y=3\)分别与直线\(l\)及\(y\)轴交于点\(M\)，\(N.\)以\(MN\)为直径作圆\(C\)，过点\(A\)作圆\(C\)的切线，切点为\(B.\)试证明：当点\(P\)在曲线\(Γ\)上运动\((\)点\(P\)与原点不重合\()\)时，线段\(AB\)的长度为\(\sqrt{6}\)．