知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如图，椭圆x²+ $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标y_M的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知动点P与平面上两定点 $A%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CB%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 连线的斜率的积为定值- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|= $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B3%7D$ 时，求直线l的方程．

难度：较难

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3．
已知对任意平面向量$ \overrightarrow{AB}=(x,y)$，把$ \overrightarrow{AB}$绕其起点沿逆时针方向旋转$θ$角得到向量$ \overrightarrow{AP}=(x\cos θ-y\sin θ,x\sin θ+y\cos θ)$，叫做把点$B$绕点$A$逆时针方向旋转$θ$角得到点$P.$设平面内曲线$C$上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转$ \dfrac {π}{4}$后得到点的轨迹是曲线$x^{2}-y^{2}=2$，则原来曲线$C$的方程是 ______ ．

难度：较难

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4．
已知椭圆的中心在原点，左焦点为$F_{1}(- \sqrt {3},0)$，且右顶点为$D(2,0).$设点$A$的坐标是$(1, \dfrac {1}{2})$
$(1)$求该椭圆的标准方程；
$(2)$若$P$是椭圆上的动点，求线段$PA$的中点$M$的轨迹方程．

难度：较难

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5．已知动点P与双曲线 $x%5E%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ．的两焦点F₁，F₂的距离之和为大于4的定值，且| $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D$ |•| $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D$ |的最大值为9．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAM%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ ，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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6．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上任意一点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为 ______ ．

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7．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点的轨迹方程是 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ；
②点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；
④若动点M（x，y）满足 $%20%5Csqrt%20%7B%28x-1%29%5E%7B2%7D%2B%28y%2B2%29%5E%7B2%7D%7D%3D%7C2x-y-4%7C$ ，则动点M的轨迹是双曲线；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命题的序号是 ______ ．（写出所有真命题的序号）

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8．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．

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9．动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为
1
2
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知定点A（-2，0），B（2，0），动点Q（4，t）在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M，N，F三点共线．

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10．点M（-3，0），点N（3，0），动点P满足|PM|=10-|PN|，则点P的轨迹方程是．

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