知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知圆\(M:{x}^{2}+(y-4{)}^{2}=4 \)，点 \(P\) 是直线\(l：x-2y=0 \) 上的一动点，过点 \(P\) 作圆 \(M\) 的切线 \(PA\)，\(PB\)，切点为 \(A\)，\(B\)．

\((I)\)当切线 \(PA\) 的长度为\(2 \sqrt{3} \) 时，求点 \(P\) 的坐标；

\((II)\)若\(∆PAM \) 的外接圆为圆 \(N\)，试问：当 \(P\) 在直线 \(l\) 上运动时，圆 \(N\) 是否过定点\(?\)若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

\((III)\)求线段 \(AB\) 长度的最小值．

难度：较难

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2．
已知圆\(C_{1}\)：\((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=9\)，圆\(C_{2}\)：\(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．

难度：较难

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3．

已知\(A\)，\(F\)分别是椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左顶点和右焦点，点\(P\)为椭圆\(C\)上一动点，当\(PF⊥x\)轴时，\(|AF|=2|PF|\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的离心率；

\((2)\)若椭圆\(C\)上存在点\(Q\)，使得四边形\(AOPQ\)是平行四边形\((\)点\(P\)在第一象限\()\)，求直线\(AP\)与\(OQ\)的斜率之积；

\((3)\)记圆\(O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)为椭圆\(C\)的“关联圆”\(.\)若\(b=\sqrt{3}\)，过点\(P\)作椭圆\(C\)的“关联圆”的两条切线，切点为\(M\)，\(N\)，直线\(MN\)的横、纵截距分别为\(m\)，\(n\)，求证：\(\dfrac{3}{{{m}^{2}}}+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}\)为定值．

难度：较难

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4．
已知圆\(O\)\({\,\!}_{1}\)和圆\(O\)\({\,\!}_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\)\(=2\)，\(ρ\)\({\,\!}^{2}-2 \sqrt{2}\) \(ρ\)\(\cos \left(\begin{matrix}θ- \dfrac{π}{4}\end{matrix}\right)=2\)．

\((1)\)把圆\(O\)\({\,\!}_{1}\)和圆\(O\)\({\,\!}_{2}\)的极坐标方程化为直角坐标方程；

\((2)\)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

难度：较难

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5．已知两圆\(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\)，\(x^{2}+y^{2}+6x-2y-40=0\)，
求\((1)\)它们的公共弦所在直线的方程；\((2)\)公共弦长．

难度：较难

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6．已知圆\(C_{1}\)：\(x^{2}+y^{2}-3x-3y+3=0\)，圆\(C_{2}\)：\(x^{2}+y^{2}-2x-2y=0\)，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．

难度：较难

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7．已知圆C：x²+y²-2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x-4y-15=0．
（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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