知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2． A. 在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} x{=}\cos\alpha \\ y{=}1{+}\sin\alpha \end{cases}\ (\alpha\)为参数，\(\alpha{∈}R)\)，在以坐标原点为极点，\(x\)轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}{：}\rho\sin(\theta{-}\dfrac{\pi}{4}){=}\sqrt{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C_{1}\)的普通方程与曲线\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)若曲线\(C_{1}\)和曲线\(C_{2}\)相交于\(A{,}B\)两点，求\({|}{AB}{|}\)的值．

B. 设函数\(f(x){=|}2x{+}2{|-|}x{-}2{|}\)．
\((1)\)求不等式\(f(x){ > }2\)的解集；
\((2)x{∈}R{,}f(x){\geqslant }t^{2}{-}\dfrac{7}{2}t\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

难度：较难

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3．

I.已知直线\(l\)的极坐标方程是\(\rho \sin (\theta -\dfrac{\pi }{3})=0\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线\(C\)的参数方程是\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \end{cases}\)\((\)\(\alpha \)为常数\()\)．

\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)被曲线\(C\)截得的弦长；

\((\)Ⅱ\()\)从极点作曲线\(C\)的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

\(II\)．已知函数\(f(x)=|x-1|+|x+a|\)．

\((\)Ⅰ\()\)当\(a=3\)时，解关于\(x\)的不等式\(|x-1|+|x+a| > 6\)；

\((\)Ⅱ\()\)若函数\(g(x)=f(x)-|3+a|\)存在零点，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较难

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4．
在平面直角坐标系\(xoy\)中，直线\(l\)过点\({{P}_{0}}(-2,2)\)，且倾斜角\(\alpha =\dfrac{\pi }{6}\)，

直线\(l\)与圆：\({{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=2\)交于\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\) 写出直线\(l\)的参数方程，并求线段\(AB\)的长\(;\)

\((2)\) 以原点\(O\)为极点，\(x\)正半轴为极轴建立极坐标系，点\(P\)的极坐标为\(\left(2 \sqrt{2}, \dfrac{3}{4}π\right) \)，设\(AB\)中点为\(Q\)，求\(P\)，\(Q\)两点间的距离．

难度：较难

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5．
已知点\(A\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)\)和圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\)，以\(A\)为中点引线段\({{M}_{1}}M\)，其一端点\({{M}_{1}}\)沿已知圆做圆周运动．

\((1)\)求另一端点\(M\)的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

\((2)\)记\((1)\)中轨迹为\(C\)，过点\(N(-2,3) \) 的直线\(l\)被\(C\)所截得的线段长度为\(8\)，求直线\(l\)的方程．

难度：较难

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6．
\((1)\)已知\(a\)，\(b\)均为单位向量，它们的夹角为\( \dfrac{π}{3}\)，则\(|\)\(a\)\(+\)\(b\)\(|=\)_______．

\((2)\)已知\(\sin \left(\begin{matrix} \begin{matrix}α+ \dfrac{π}{3} \end{matrix}\end{matrix}\right)+\sin α=- \dfrac{4 \sqrt{3}}{5}\)，\(- \dfrac{π}{2} < α < 0\)，则\(\sin \left(\begin{matrix} \begin{matrix}α+ \dfrac{7π}{6} \end{matrix}\end{matrix}\right)\)等于_______．

\((3)\)已知实数\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} x-3y-6\leqslant 0, \\ y\leqslant 2x+4, \\ 2x+3y-12\leqslant 0, \end{cases}\)直线\((1+λ)x+(1-2λ)y+3λ-12=0(λ∈R)\)过定点\(A(x_{0},y_{0})\)，则\(z= \dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}\)的取值范围为_______．

\((4)\)已知直线\(l\)：\(2mx-y-8m-3=0\)和圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-6x+12y+20=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，当线段\(AB\)最短时直线\(l\)的方程为_______．

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7．

直线\(\sqrt{2}ax+by=1\)与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)相交于\(A\)，\(B\)两点\((\)其中\(a\)，\(b\)是实数\()\)，且\(\triangle AOB\)是直角三角形\((\)\(O\)是坐标原点\()\)，则点\(P(a\)，\(b)\)与点\((0,1)\)之间距离的最大值为 \((\) \()\)

A．\(\sqrt{2}+1\)

B．\(2\)

C．\(\sqrt{2}\)

D．\(\sqrt{2}-1\)

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8．

已知圆\(C\)：\({{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4\)，直线\(l\)：\(\left( 3m+1 \right)x+\left( 1-m \right)y-4=0\)．

\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)被圆\(C\)所截得的弦长最短时\(m\)的值及最短弦长；

\((\)Ⅱ\()\)已知坐标轴上点\(A\left( 0,2 \right)\)和点\(T\left( t,0 \right)\)满足：存在圆\(C\)上的两点\(P\)和\(Q\)，使得\(\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}\)，求实数\(t\)的取值范围．

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9．
圆\(C\)经过点\(A(2,-1)\)，和直线\(x+y=1\)相切，且圆心在直线\(y=-2x\)上\(.\)

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)已知直线\(l \)经过原点，并且被圆\(C\)截得的弦长为\(2 \)，求直线\(l \)的方程．

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10．
\((1)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB=1\)，\(AC=2\)，\(( \overset{→}{AB}+ \overset{→}{AC})· \overset{→}{AB}=2 \)，则\(\triangle ABC\)面积等于 ______．

\((2)\)已知圆的方程为\((\)\(x\)\(-1)^{2}+(\)\(y\)\(-1)^{2}=9\)，\(P(2,2)\)是该圆内一点，过点\(P\)的最长弦和最短弦分别为\(AC\)和\(BD\)，则四边形\(ABCD\)的面积是 ______．

\((3)\)若 \(\cos 2x+a\sin x- \dfrac{3}{2} < 0 \)对\(x∈(0, \dfrac{π}{2}) \)都成立，则\(a\)的取值范围为____________

\((4)\)已知直三棱柱\(ABC={A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 高为\(2\) ，底面\(\triangle ABC\)中，若\(BC=3\)，\(A= \dfrac{π}{3} \)，则该三棱柱外接球体积为 ______．

难度：较难

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