知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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2．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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4．椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点(0，
3
)，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆W于C，D两点，且
AB
∥
CD
．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）求证：|AB|²=4|CD|．

难度：较难

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5．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4，求y₀的值．

难度：较难

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6．已知椭圆的焦距为6，离心率e=
3
5
，求椭圆的标准方程．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左焦点F（-
3
，0），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．

难度：较难

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8．已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，一个焦点坐标为（2，0），离心率e=
2
5
5
．过椭圆的焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M（1，0），且(
MA
+
MB
)⊥
AB
，求直线l的方程．

难度：较难

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9．如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，过F₂作垂直于x轴的直线交椭圆于P点（点P在x轴上方），连结PF₁并延长交椭圆于另一点Q．设
PF1
=λ
F1Q
（2≤λ≤
7
3
）．
（1）若PF₁=
6
5
5
，PF₂=
4
5
5
，求椭圆的方程；
（2）求椭圆的离心率的范围；
（3）当离心率最大时，过点P作直线l交椭圆于点R，设直线PQ的斜率为k₁，直线RF₁的斜率为k₂，若k₁=
3
2
k2，求直线l的斜率k．

难度：较难

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中e=
1
2
（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为
4
7
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

难度：较难

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