知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

已知抛物线$y^{2}=8x$的准线与$x$轴交于点$D$，与双曲线$ \dfrac {x^{2}}{m}-y^{2}=1$交于$A$，$B$两点，点$F$为抛物线的焦点，若$\triangle ADF$为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是$($　　$)$

A．$ \sqrt {5}$

B．$2 \sqrt {5}$

C．$ \sqrt {21}$

D．$ \dfrac { \sqrt {21}}{2}$

难度：较难

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2．

若点$P$为抛物线$C$：$y=2x^{2}$上的动点，$F$为$C$的焦点，则$|PF|$的最小值为$($　　$)$

A．$1$

B．$ \dfrac {1}{2}$

C．$ \dfrac {1}{4}$

D．$ \dfrac {1}{8}$

难度：较难

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3．已知 $F%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点N（x₀，y₀）（y₀＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且 $%7CNF%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D%EF%BC%8Ck_%7BNA%7D%5Ccdot%20k_%7BNB%7D%3D-2$ ．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出直线l′的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．

已知抛物线$C$的顶点为$O$$(0,0)$，焦点为$F$$(0,1)$．

$(1)$求抛物线$C$的方程；

$(2)$过点$F$作直线交抛物线$C$于$A$，$B$两点，若直线$AO$，$BO$分别交直线$l$：$y$$=$$x$$-2$于$M$、$N$两点，$｜$$MN$$｜$求的最小值．

难度：较难

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5．

已知点$F$为抛物线$y$ ${\,\!}^{2}=-8x$的焦点，$O$为原点，点$P$是抛物线准线上一动点，点$A$在抛物线上，且$|AF|=4$，则$|PA|+|PO|$的最小值为$($　　$)$

A．$6$

B．$2+4 \sqrt {2}$

C．$2 \sqrt {13}$

D．$4+2 \sqrt {5}$

难度：较难

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6．已知椭圆 $C_%7B1%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 的左、右两个焦点为F₁、F₂，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，又抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DP%7D%3D%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DQ%7D$ ，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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7．如图，线段AB过y轴上一点N(0，m)，AB所在直线的斜率为k(k≠0)，两端点A，B到y轴的距离之差为4k．
(1)求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
(2)过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BFC%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BFD%7D%7D%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BFM%7D%5E%7B2%7D%7D$ 的值．

难度：较难

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8．如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y²=2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
(1)若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；
(2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括A，B两点)，求△ABC的面积S的最大值；
(3)设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)

难度：较难

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9．已知双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3E0%2Cb%3E0%29$ 的离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，过点A(0，-b)和B(a，0)的直线与原点的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线y=kx+m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

难度：较难

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10．过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，证明： $%20%5Coverrightarrow%20%7BFM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BFN%7D%EF%BC%9C2p%5E%7B2%7D$ ；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B7%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ，求抛物线E的方程．

难度：较难

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