知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
④若方程2x²-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．

难度：较难

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2．以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
①设A，B为两点定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)则动点P的轨迹为椭圆；
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
④若方程2x²-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；
⑤在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．

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3．已知实数x，y满足x²+4y²-2xy=4，则x+2y的最大值是．

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4．已知定点M（1，0）和直线x=-1上的动点N（-1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．

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5．已知曲线C_n的方程为：|x|ⁿ+|y|ⁿ=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C_n所围成的图形的面积；
（Ⅱ）若S_n（n∈N^*）表示曲线C_n所围成的图形的面积，求证：S_n（n∈N^*）关于n是递增的；
（Ⅲ）若方程xⁿ+yⁿ=zⁿ（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C_n（n＞2，n∈N^*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．

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6．若曲线
x2
4
+
y|y|
9
=1和曲线kx+y-3=0有三个交点，则k的取值范围是．

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7．点P在曲线y=-e^-x上，点Q在曲线y=lnx上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM的长的最小值是．

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8．曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②曲线C上的点都在椭圆
x2
a
+
y2
a-1
=1外；
③曲线C上点的横坐标的最大值为
a+1
；
④若点P在曲线C上（不在x轴上），则△PF₁F₂的面积不大于
1
2
a．
其中，所有正确结论的序号是．

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9．曲线C是平面内到定点F（0，2）和定直线：y=-2的距离之和等于6的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于y轴对称； ③若点P（x，y）在曲线C，则|y|≤2；
④若点P（x，y）在曲线C，则|PF|的最大值是6．其中，所有正确结论的序号是．

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10．在同一平面直角坐标系中，曲线C：x²+y²=1经过伸缩变换
x′=3x
y′=2y
后，变为曲线C′．
（1）求曲线C′的方程；
（2）在曲线C′上求一点P，使点P到直线x+2y-8=0的距离最小，求出最小值并写出此时点P的直角坐标．

难度：较难

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