知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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2．曲线

=1与曲线

a2-m

b2-m

=1有相同的（　　）

A．长轴长

B．短轴长

C．焦距

D．离心率

难度：较难

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3．

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e_M，e_N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e_P，e_Q，则它们的大小关系是（　　）

A．e_M＜e_N＜e_Q＜e_P

B．e_N＜e_M＜e_P＜e_Q

C．e_P＜e_Q＜e_M＜e_N

D．e_Q＜e_N＜e_M＜e_P

难度：较难

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4．在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（x，y-2），
b
=（kx，y+
2
）（k∈R），
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为T．求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状．

难度：较难

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5．方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
5
2
．
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

难度：较难

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6．若θ是任意实数，则方程x²+4y²sinθ=1所表示的曲线一定不是（　　）

A．抛物线

B．双曲线

C．直线

D．圆

难度：较难

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7．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点．求证：
（1）|PF1|•|PF2|=a2-m2
（2）S_△F1PF2=bn
（3）tan
∠F1PF2
2
=
n
b
．

难度：较难

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8．（A题）已知点P是圆x²+y²=4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A（-1，0）和B（1，0），则抛物线焦点F的轨迹为（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

难度：较难

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9．平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，o）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁，A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．那么当m满足条件时，曲线C是圆；当m满足条件时，曲线C是双曲线．

难度：较难

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10．已知圆锥曲线C：
x2
16
+
y2
t2-2t
=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足
PF1
•
PF2
=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．

难度：较难

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