知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得
|PQ|
|AP|
=3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．已知动圆过定点(0，
1
2
)，且与直线y=-
1
2
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q是轨迹C上一点，过Q作圆P：（x-6）²+y²=1的切线，其中A、B是切点，若轨迹C在点Q处的切线与直线AB平行，求直线AB方程．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1的焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求以线段F₁，F₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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6．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与焦点为F的抛物线y²=8x相交于A，B两点，若|

|=4|

|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较难

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7．过椭圆

+y²=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（　　）

A．1

B．2

C．-1

D．-2

难度：较难

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
1
2
，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为
10
，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

难度：较难

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9．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x²+y²=9上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，若椭圆C₂上存在关于直线l：y=
1
4
x+
1
3
对称的两个不同的点，求椭圆C₂的离心率e的取值范围．

难度：较难

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10．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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