知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥$A-BCDE$中，$AC⊥$平面$BCDE$，$∠CDE=∠CBE=90^{\circ}$，$BC=CD=2$，$DE=BE=1$，$AC= \sqrt {2}$，$M$为$AE$的中点．
$(1)$求证：$BD⊥$平面$AEC$；
$(2)$求直线$MB$与平面$AEC$所成角的正弦值．

难度：较难

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2．
如图：三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的所有棱长均相等，$AA_{1}⊥$平面$ABC$，$E$为$AA_{1}$的中点．
$(1)$求证：平面$BC_{1}E⊥$平面$BCC_{1}B_{1}$；
$(2)$求直线$BC_{1}$与平面$BB_{1}A_{1}A$所成角的正弦值．

难度：较难

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3．

如图四棱锥$P$$-$$ABCD$，三角形$ABC$为正三角形，边长为$2$，$AD$$⊥$$DC$，$AD$$=1$，$PO$垂直于平面$ABCD$于$O$，$O$为$AC$的中点．

$(1)$证明$PA$$⊥$$BO$；

$(2)$证明$DO$$/\!/$平面$PAB$；

$(3)$若$PD=\sqrt{6}$，直线$PD$与平面$PAC$所成角的正切值．

难度：较难

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4．
如图，在四面体$ABCD$中，平面$ABC⊥$平面$BCD$，$DC⊥BC$，$AB= \sqrt {3}$，$BC=2$，$AC=1$．
$(1)$求证：$AB⊥AD$；
$(2)$设$E$是$BD$的中点，若直线$CE$与平面$ACD$的夹角为$30^{^{\circ}}$，求四面体$ABCD$外接球的表面积．

难度：较难

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5．

三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的侧棱与底面垂直，$AA_{1}=AB=AC=1$，$AB⊥AC$，$N$是$BC$的中点，点$P$在$A_{1}B_{1}$上，且满足$|A_{1}P|=λ|A_{1}B_{1}|$，直线$PN$与平面$ABC$所成角$θ$的正切值取最大值时$λ$的值为$($　　$)$

A．$ \dfrac {1}{2}$

B．$ \dfrac { \sqrt {2}}{2}$

C．$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$

D．$ \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}$

难度：较难

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6．
如图所示，四棱锥$P-ABCD$的底面是梯形，且$AB/\!/CD$，$AB⊥$平面$PAD$，$E$是$PB$中点，$CD=PD=AD= \dfrac {1}{2}AB$．

$($Ⅰ$)$求证：$CE⊥$平面$PAB$；
$($Ⅱ$)$若$CE= \sqrt {3}$，$AB=4$，求直线$CE$与平面$PDC$所成角的大小．

难度：较难

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，CD=2AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．
（1）求证：CD⊥BF；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

难度：较难

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8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面ABCD上确定一点G，使G到平面D₁EF距离为
11
11
．

难度：较难

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9．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点O是侧面BB₁C₁C的中心，点D为平面BB₁C₁C内一点，若AD与平面BB₁C₁C所成的角为60°，则点D可能在下列哪些位置（　　）

A．点B和B₁处

B．点C和C₁处

C．点O，B₁和C₁处

D．点O，B和C处

难度：较难

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10．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．

难度：较难

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