知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：较难

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2．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，AA₁=A₁B₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ AB=1，∠ABC=60°，AA₁⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C₁M∥平面AA₁B₁B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD₁-D的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．

如图，正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的底面边长是$2$，侧棱长是$\sqrt{3}$，$D$是$AC$的中点．

$($Ⅰ$)$求证：$B_{1}C/\!/$平面$A_{1}BD$；

$($Ⅱ$)$求二面角$A_{1}-BD-A$的大小；

$($Ⅲ$)$在线段$AA_{1}$上是否存在一点$E$，使得平面$B_{1}C_{1}E⊥$平面$A_{1}BD$，若存在，求出$AE$的长；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．如图，四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的所有棱长都相等，$AC∩BD=O$，$A_{1}C_{1}∩B_{1}D_{1}=O_{1}$，四边形$ACC_{1}A_{1}$和四边形$BDD_{1}B_{1}$均为矩形．
$($Ⅰ$)$证明：$O_{1}O⊥$底面$ABCD$；
$($Ⅱ$)$若$∠CBA=60^{\circ}$，求二面角$C_{1}-OB_{1}-D$的余弦值．

难度：较难

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5．
如图所示，在棱长为$2$的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$、$F$分别为$A_{1}D_{1}$和$CC_{1}$的中点

$(1)$求证：$EF/\!/$平面$ACD_{1}$；

$(2)$在棱$BB_{1}$上是否存在一点$P$，使得二面角$P—AC—B$的大小为$30^{\circ}$，若存在，求出$BP$的长，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．在棱长为$a$的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$、$N$分别为$A_{1}B_{1}$，$CC_{1}$的中点．
$(1)$求$B$到平面$AMN$的距离；
$(2)$求二面角$B-AM-N$的余弦值．

难度：较难

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7．
如图，四边形$ABCD$ 与$BDEF$ 均为菱形，设$AC$ 与$BD$ 相交于点$O$ ，若$\angle DAB=\angle DBF={{60}^{0}}$ ，且$FA=FC$ ．

$($Ⅰ$)$求证：$FC\parallel $ $/\!/$平面$EAD$ ；

$($Ⅱ$)$求二面角$A-FC-B$的余弦值．

难度：较难

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8．
如图所示，在四棱锥$P-ABCD$中，$PD⊥$平面$ABCD$，四边形$ABCD$是菱形，$AC=2$，$BD=2 \sqrt{3} $，且$AC$，$BD$交于点$O$，$E$是$PB$上任意一点．

$(1)$求证：$AC⊥DE$；

$(2)$已知二面角$A-PB-D$的余弦值为$ \dfrac{ \sqrt{15}}{5} $，若$E$为$PB$的中点，求$EC$与平面$PAB$所成角的正弦值．

难度：较难

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9．
如图所示，在直四棱柱$ABCD$$-$$A$${\,\!}_{1}$$B$${\,\!}_{1}$ $C$${\,\!}_{1}$$D$${\,\!}_{1}$中，已知$AD=1$，且$DC$$=$$DD$${\,\!}_{1}=2$$AD$$=2$$AB$，$AD$$⊥$$DC$，$AB$$/\!/$$DC$．

$(1)$设$E$是$DC$的中点，求证：$D$${\,\!}_{1}$$E$$/\!/$平面$A$${\,\!}_{1}$$BD$；

$(2)$求二面角$A$${\,\!}_{1}—$$BD$$—$$C$${\,\!}_{1}$的余弦值．

$(3)$ 求直线与平面$C$${\,\!}_{1}$$BD$所成角的正弦值．

难度：较难

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10．
$($本小题满分$12$分$)$如图，在五面体$ABCDEF$中，$FA⊥$平面$ABCD$，$AD/\!/BC/\!/FE$，$AB⊥AD$，$M$为$EC$的中点，$AF=AB=BC=FE= AD$．

$(1)$求异面直线$BF$与$DE$所成的角的大小；

$(2)$证明平面$AMD$$⊥$平面$CDE$；

$(3)$求二面角$A$$CD$$E$的余弦值．

难度：较难

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