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          共50条信息

            • 1．

              如图，四棱锥\(P{-}{ABCD}\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\({∠}ABC\ {=}\ 60{^{\circ}}\)，\(PA\ {=}\ PB\ {=}\ AB\ {=}\ 2\)，点\(N\)为\({AB}\)的中点．


              \((1)\)证明：\(AB{⊥}PC\)

              \((2)\)若点\(M\)为线段\({PD}\)的中点，平面\({PAB}{⊥}\)平面\({ABCD}\)，求二面角\(M{-}{NC}{-}P\)的余弦值．

              难度：较难
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            • 2． 如图，平面\(ABEF⊥\)平面\(ABC\)，四边形\(ABEF\)为矩形，\(AC=BC.O\)为\(AB\)的中点，\(OF⊥EC\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(OE⊥FC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(F-CE-B\)的余弦值为\(- \dfrac {1}{3}\)时，求\( \dfrac {AC}{AB}\)的值．
              难度：较难
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            • 3． 如图，在以 \(A\)， \(B\)， \(C\)， \(D\)， \(E\)， \(F\)为顶点的五面体中，面 \(ABEF\)为正方形， \(AF\)\(=2\) \(FD\)，\(\angle AFD={{90}^{\circ }}\)，且二面角 \(D\)\(-\) \(AF\)\(-\) \(E\)与二面角 \(C\)\(-\) \(BE\)\(-\) \(F\)都是\({{60}^{\circ }}\)．

              \((I)\)证明：平面\(ABEF\)\(\bot \)平面\(EFDC\)；

              \((II)\)求二面角\(E\)\(-\)\(BC\)\(-\)\(A\)的余弦值．

              难度：较难
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            • 4． 如图，在三棱锥\(C-OAB\)中，\(CO⊥\)平面\(AOB\)，\(OA=OB=2OC=2\)，\(AB=2 \sqrt {2}\)，\(D\)为\(AB\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB⊥\)平面\(COD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(E\)满足\(CE/\!/\)平面\(AOB\)，问：当\(AE=BE\)时，平面\(ACE\)与平面\(AOB\)所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．
              难度：较难
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            • 5．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中点，作\(EF⊥PB\)交\(PB\)于点\(F\)．
              \((1)\)证明\(PA/\!/\)平面\(EDB\)；
              \((2)\)证明\(PB⊥\)平面\(EFD\)；
              \((3)\)求二面角\(C-PB-D\)的大小．
              难度：较难
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            • 6．
              已知四棱锥中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是边长为\(a\)的菱形，\(∠BAD=120^{\circ}\)，\(PA=b\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PBD⊥\)平面\(PAC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，\(M\)为\(OC\)中点，若二面角\(O-PM-D\)的正切值为\(2 \sqrt {6}\)，求\(a\)：\(b\)的值．
              难度：较难
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            • 7．
              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(Q\)是\(AD\)的中点．
              \((1)\)若\(PA=PD\)，求证：平面\(PQB⊥\)平面\(PAD\)；
              \((2)\)若平面\(APD⊥\)平面\(ABCD\)，且\(PA=PD=AD=2\)，在线段\(PC\)上是否存在点\(M\)，使二面角\(M-BQ-C\)的大小为\(60^{\circ}.\)若存在，试确定点\(M\)的位置，若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 8．

              如图，在多面体，\(ABCDEF\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的菱形，\(∠BDC=60^{\circ}\)，四边形\(BDEF\)是矩形，平面\(BDEF⊥\)平面\(ABCD\)，\(BF=3\)，\(H\)是\(CF\)的中点．

              \((1)\)求证\(AC⊥\)平面\(BDEF\)；

              \((2)\)求直线\(DH\)与平面\(BDEF\)所成角的正弦值；

              \((3)\)求二面角\(H—BD—C\)的大小．

              难度：较难
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            • 9． 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为直角梯形，\(AD/\!/BC\)，\(∠ADC=90^{\circ}\)，平面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，\(Q\)为\(AD\)的中点，\(M\)是棱\(PC\)上的点，\(PA=PD=2\)，\(BC= \dfrac {1}{2}AD=1\)，\(CD= \sqrt {3}\)．
              \((1)\)求证：平面\(PQB⊥\)平面\(PAD\)；
              \((2)\)若二面角\(M-BQ-C\)为\(30^{\circ}\)，设\(PM=tMC\)，试确定\(t\)的值．
              难度：较难
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            • 10．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中点，作\(EF⊥PB\)交\(PB\)于点\(F\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(PA/\!/\)平面\(EDB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(F-DE-B\)的正弦值．
              难度：较难
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