如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形\(ABCD(\)及其内部\()\)以\(AB\)边所在直线为旋转轴旋转\(120^{\circ}\)得到的，\(AB=3\)，\(AD=2\)，\(G\)是弧\(DF\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)设\(P\)是弧\(CE\)上的一点，且\(AP⊥BE\)，求线段\(CP\)的长；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(E-AG-C\)的大小．

如图所示，梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，矩形\(BFED\)所在的平面与平面\(ABCD\)垂直，且\(AD=DC=CB=BF=\dfrac{1}{2}AB\)．

\((1)\)求证：平面\(ADE⊥\)平面\(BFED;\)

\((2)\)若\(P\)为线段\(EF\)上一点，平面\(PAB\)与平面\(ADE\)所成的锐二面角为\(θ\)，求\(θ\)的最小值．

如图所示，\(AB\)是半圆\(O\)的直径，\(C\)是半圆\(O\)上除\(A\)，\(B\)外的一个动点，\(DC\)垂直于半圆\(O\)所在的平面，\(DC/\!/EB\)，\(DC=EB\)，\(AB=4\)，\(\tan ∠EAB=\dfrac{1}{4}\)．

\((1)\)证明：平面\(ADE⊥\)平面\(ACD;\)

\((2)\)当三棱锥\(C - ADE\)的体积最大时，求二面角\(D - AE - B\)的余弦值的绝对值．

如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面是菱形，对角线\(AC,BD\)交于点\(O\)，\(OA=4\)，\(OB=3\)，\(OP=4\)，\(OP\bot \)底面\(ABCD\)，设点\(M\)满足\(\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{MC}(\lambda > 0)\)．

\((1)\)当\(\lambda =\dfrac{1}{2}\)时，求直线\(PA\)与平面\(BDM\)所成角的正弦值；

\((2)\)若二面角\(M-AB-C\)的大小为\(\dfrac{\pi }{4}\)，求\(\lambda \)的值．

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，\(AD=PD=2,PA=2\sqrt{2},\)

\(\angle PDC={{120}^{\circ }}\)，点\(E\)为线段\(PC\)的中点，点\(F\)在线段\(AB\)上\(.\)

\((\)Ⅰ\()\)若\(AF=\dfrac{1}{2}\)，求证：\(CD\bot EF\)；

\((\)Ⅱ\()\)设平面\(DEF\)与平面\(DPA\)所成二面角的平面角为\(\theta \)，试确定点\(F\)的位置，使得\(\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)．

在如图所示的空间几何体中，平面\(ACD⊥ \)平面\(ABC,ΔACD \)与\(ΔACB \)都是边长为\(2\)的等边三角形，\(BE=2,BE \)与平面\(ABC \)所成的角为\(60^{\circ}\)，且点\(E \)在平面\(ABC \)上的射影落在\(∠ABC \)的平分线上．

\((1)\)求证：\(DE/\!/ \)平面\(ABC \)；

\((2)\)求二面角\(E−BC−A \)的余弦值．

\(19.\)如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，\(\triangle PAD\)是等边三角形，四边形\(ABCD\)为平行四边形，\(∠ADC=120^{\circ}\)，\(AB=2AD\)．

\((1)\)求证：平面\(PAD⊥\)平面\(PBD\)；           

\((2)\)求二面角\(A-PB-C\)的余弦值．