知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁CC₁．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

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2．
如图所示的几何体是由棱台$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$和棱锥$D-AA_{1}C_{1}C$拼接而成的组合体，其底面四边形$ABCD$是边长为$2$的菱形，且$∠BAD=60^{\circ}$，$BB_{1}⊥$平面$ABCD$，$BB_{1}=2A_{1}B_{1}=2$．
$($Ⅰ$)$求证：平面$AB_{1}C⊥$平面$BB_{1}D$；
$($Ⅱ$)$求二面角$A_{1}-BD-C_{1}$的余弦值．

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 $PA%3DPD%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7DAD$ ，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值．

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4．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB．
（1）求AD₁与面BB₁D₁D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA₁上，若二面角E-BD-C₁的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7BAE%7D%7BAA_%7B1%7D%7D$ 的值．

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5．设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记
D1P
D1B
=λ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是．

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6．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．

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7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

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8．一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，求y的最大值及y取最大值时的x的值；
（2）空间一动点P满足
SP
=a
SA
+b
SB
+c
SC
（a+b+c=1），在第（1）问的条件下，求|
SP
|的最小值，并求取得最小值时a，b，c的值；
（3）在第（1）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点Q，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQ⊥AC？如果存在，计算其运动轨迹的长度，如果不存在，说明理由．

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9．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角．

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10．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）求点A到面EFG的距离．

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