知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 $%20%5Cfrac%20%7BPF%7D%7BPC%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F-AE-P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 $%20%5Cfrac%20%7BPG%7D%7BPB%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

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2．

已知正方体的棱长为$1$，每条棱所在直线与平面$α$所成的角都相等，则$α$截此正方体所得截面面积的最大值为$($　　$)$

A．$ \dfrac {3 \sqrt {3}}{4}$

B．$ \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}$

C．$ \dfrac {3 \sqrt {2}}{4}$

D．$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$

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3．
如图，四边形$ABCD$为正方形，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，以$DF$为折痕把$\triangle DFC$折起，使点$C$到达点$P$的位置，且$PF⊥BF$．
$(1)$证明：平面$PEF⊥$平面$ABFD$；
$(2)$求$DP$与平面$ABFD$所成角的正弦值．

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4．

如图，四边形ABCD为矩形，沿AC将△ADC翻折成△AD′C．设二面角D′-AB-C的平面角为θ，直线AD′与直线BC所成角为θ₁，直线AD′与平面ABC所成角为θ₂．当θ为锐角时，有（　　）

A．θ₂≤θ₁≤θ

B．θ₂≤θ≤θ₁

C．θ₁≤θ₂≤θ

D．θ≤θ₂≤θ₁

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5．
$a$，$b$为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形$ABC$的直角边$AC$所在直线与$a$，$b$都垂直，斜边$AB$以直线$AC$为旋转轴旋转，有下列结论：
$①$当直线$AB$与$a$成$60^{\circ}$角时，$AB$与$b$成$30^{\circ}$角；
$②$当直线$AB$与$a$成$60^{\circ}$角时，$AB$与$b$成$60^{\circ}$角；
$③$直线$AB$与$a$所成角的最小值为$45^{\circ}$；
$④$直线$AB$与$a$所成角的最小值为$60^{\circ}$；
其中正确的是 ______ $.($填写所有正确结论的编号$)$

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6．
如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA⊥$底面$ABC$，$∠BAC=90^{\circ}.$点$D$，$E$，$N$分别为棱$PA$，$PC$，$BC$的中点，$M$是线段$AD$的中点，$PA=AC=4$，$AB=2$．
$($Ⅰ$)$求证：$MN/\!/$平面$BDE$；
$($Ⅱ$)$求二面角$C-EM-N$的正弦值；
$($Ⅲ$)$已知点$H$在棱$PA$上，且直线$NH$与直线$BE$所成角的余弦值为$ \dfrac {3 \sqrt {7}}{21}$，求线段$AH$的长．

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7．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AD⊥$平面$PDC$，$AD/\!/BC$，$PD⊥PB$，$AD=1$，$BC=3$，$CD=4$，$PD=2$．
$(I)$求异面直线$AP$与$BC$所成角的余弦值；
$(II)$求证：$PD⊥$平面$PBC$；
$(II)$求直线$AB$与平面$PBC$所成角的正弦值．

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8．
已知向量$ \overrightarrow{a}$，$ \overrightarrow{b}$的夹角为$60^{\circ}$，$| \overrightarrow{a}|=2$，$| \overrightarrow{b}|=1$，则$| \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=$ ______ ．

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