知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•娄底期末）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

难度：较难

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

难度：较难

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3．（2015秋•淮南期中）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求点C到平面ABD的距离．

难度：较难

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4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P是棱DF的中点．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）求点B到面PCD的距离．

难度：较难

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5．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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6．（2015秋•松原校级期末）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

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7．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，B₁H⊥平面A₁BC₁，垂足为H．
（Ⅰ）求证：H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）求证：S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1（其中S△A1B1C1、S△A1HC1、S△A1BC1分别表示△A₁B₁C₁，△A₁HC₁，△A₁BC₁的面积）

难度：较难

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3，CD=
6

①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

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9．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证，
（1）
LE
+
FG
+
HK
=
0
；
（2）E，F，G，H，K，L六点共面．

难度：较难

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10．如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求证：E、F、G、H四点共面．
（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线．

难度：较难

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