知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，$AB$为圆$O$的直径，点$E$、$F$在圆$O$上，$AB/\!/EF$，矩形$ABCD$所在的平面和圆$O$所在的平面互相垂直，且$AB=2$，$AD=EF=1$．
$(1)$求证：$AF⊥$平面$CBF$；
$(2)$设平面$CBF$将几何体$EFABCD$分成的两个锥体的体积分别为$V_{F-ABCD}$，$V_{F-CBE}$，求$V_{F-ABCD}$：$V_{F-CBE}$．

难度：较难

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2．
如图，三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧面$BB_{1}C_{1}C$为菱形，$B_{1}C$的中点为$O$，且$AO⊥$平面$BB_{1}C_{1}$C.
$(1)$证明：$B_{1}C⊥AB$；
$(2)$若$AC⊥AB_{1}$，$∠CBB_{1}=60^{\circ}$，$BC=1$，求三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的高．

难度：较难

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3．
在四棱锥$P-ABCD$中，$AD/\!/BC$，平面$PAC⊥$平面$ABCD$，$AB=AD=DC=1$，
$∠ABC=∠DCB=60^{\circ}$，$E$是$PC$上一点．
$($Ⅰ$)$证明：平面$EAB⊥$平面$PAC$；
$($Ⅱ$)$若$\triangle PAC$是正三角形，且$E$是$PC$中点，求三棱锥$A-EBC$的体积．

难度：较难

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4．
如图，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PA⊥$平面$ABCD$，$E$为$PD$的中点．
$($Ⅰ$)$证明：$PB/\!/$平面$AEC$；
$($Ⅱ$)$设$AP=1$，$AD= \sqrt {3}$，三棱锥$P-ABD$的体积$V= \dfrac { \sqrt {3}}{4}$，求$A$到平面$PBC$的距离．

难度：较难

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5．如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A-BCDE．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积；
（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A-BCDE所得截面面积为S，试求S的值．

难度：较难

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6．如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面APC；
（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2， $BC%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N-BMC的体积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BMD%7D$ 的值．

难度：较难

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8．如图，在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD为边长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 的正方形，PA⊥BD．
（Ⅰ）求证：PB=PD；
（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D-ACE体积．

难度：较难

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9．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为
6
7
，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

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10．如图，在正三棱柱中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与棱AA₁的交点记为M，求：
（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及
A1M
AM
的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）．

难度：较难

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