知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C₁的极坐标方程为ρcos（θ-
π
3
）=-1，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上的动点M到曲线C₁的距离的最大值．

难度：较难

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2．曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-
π
3
）=
1
2
，以极点O为原点，极轴Ox为x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程为
x=-2+tcos60°
y=tsin60°
（t为参数）．若C与l的交点为P，求点P与点A（-2，0）的距离|PA|．

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3．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=
2
3+cos2θ
，以极点O为原点，以极轴为x轴正向建立直角坐标系，将曲线C₁上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
1
2
倍后得曲线C₂．
（1）试写出曲线C₁的直角坐标方程．
（2）在曲线C₂上任取一点R，求点R到直线l：x+y-5=0的距离的最大值．

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4．已知曲线C₁的极坐标方程是ρcos（θ+
π
4
）=2
2
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程是：
x=4t2
y=4t
(t是参数）．
（1）将曲线C₁和曲线C₂的方程转化为普通方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于A、B两点，求证OA⊥OB；
（3）设直线y=kx+b与曲线C₂交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0且a为常数），过弦PQ的中点M作平行于x轴的直线交曲线C₂于点D，求证：△PQD的面积是定值．

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5．直线ρ=
3
2cosθ+sinθ
与直线l关于直线θ=
π
4
（ρ∈R）对称，则l的极坐标方程是．

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6．已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ²-2
2
ρcos（θ-
π
4
）=2，ρ=2．则经过两圆交点的直线的极坐标方程为．

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7．已知两曲线参数方程分别为
x=
3
cosθ
y=sinθ
（0≤θ＜π）和
x=
3
2
t2
y=t
（t∈R），它们的交点坐标为．

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8．已知直线l的参数方程为
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t为参数），圆M的直角坐标方程为（x-a）²+（y-b）²=1，且圆M上的点到直线l的最小距离为1．
（1）求a-b的值；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆N的极坐标方程为ρ=2cosθ，当a=1，b=1时，求圆M和圆N公共弦长．

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9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为
x=2cosα
y=2+2sinα
，（α为参数），M是C₁上动点，P点满足
OP
=2
OM
，P点的轨迹为曲线C₂
（1）求C₂的方程；
（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=
π
3
与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|；
（3）若直线l：
x=4-
3
t
y=-t
（t为参数）和曲线C₂交于E、F两点，且EF的中点为G，又点H（4，0），求|HG|．

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10．已知直线C₁：
x=
4
5
t
y=
3
5
t
（t为参数），曲线C₂：ρ+
1
ρ
=2
2
sin（θ+
π
4
）．
（1）求直线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求直线C₁被曲线C₂所截的弦长．

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