知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的参数方程为
x=
t2-4
t2+4
y=
8t
t2+4
（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(
2
，
π
4
)，直线l的参数方程为
x=
3
2
-
2
2
t
y=
1
2
+
2
2
t
（t为参数），点A在直线l上．
（Ⅰ）求点A对应的参数t；
（Ⅱ）若曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数），直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

难度：较难

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3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C₂的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程与曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C₁与C₂是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1，直线l：
x=-3+
3
t
y=2
3
+t
（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=2+2t
y=1-t
（t为参数），椭圆C的方程为
x2
4
+y²=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（Ⅰ）已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=6cosθ，将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若在平面直角坐标系xoy中，曲线C₂的参数方程为
x=acosϕ
y=bsinϕ
（a＞b＞0，φ为参数）．
已知曲线C₂上的点M（1，
3
2
）及对应的参数ϕ=
π
3
．求曲线C₂的直角坐标方程．

难度：较难

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7．点P在椭圆
y2
16
+
x2
9
=1上，求点P到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离．

难度：较难

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8．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ参数），直线L的极坐标方程为ρ=
3
2
cosθ+2sinθ

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程与直线L的直角坐标方程．
（Ⅱ）P为曲线C上一点，求P到直线L距离的最小值．

难度：较难

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9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
x=
3
cosα
y=sinα
（α为参数）．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
π
2
），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△ABC=
3
4
；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由．

难度：较难

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10．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
x=2cosα
y=3sinα
（α为参数）与极坐标下的点M(2，
π
4
)．
（1）求点M与曲线C的位置关系；
（2）在极坐标系下，将M绕极点逆时针旋转θ（θ∈[0，π]），得到点M'，若点M'在曲线C上，求θ的值．

难度：较难

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