知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

难度：较难

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3．已知a、b、c为正数，
（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；
（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

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4．已知正实数a，b，c满足
1
a
+
2
b
+
3
c
=1，求证：a+
b
2
+
c
3
≥9．

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5．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

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6．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

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7．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，并说明等号成立的条件．

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8．已知x，y，z∈R⁺，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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9．已知a，b为实数，证明：（a⁴+b⁴）（a²+b²）≥（a³+b³）²．

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10．已知x，y∈R，且|x+y|≤
1
6
，|x-y|≤
1
4
，求证：|x+5y|≤1．

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